4宮崎大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) 点 $A$ は曲線 $C$ 上にあるので、$\displaystyle \cos^3 t=\frac18$ より $\displaystyle \cos t=\frac12$ であり、$\displaystyle 0\leq t\leq\frac{\pi}{2}$ から $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$ である。このとき $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-3\cos^2t\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=3\sin^2t\cos t$$ であり、$\displaystyle \frac{dx}{dt}\neq 0$ だから $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=-\tan t=-\sqrt3.$$ したがって法線の傾きは $\displaystyle \frac{1}{\sqrt3}$ である。点 $\displaystyle A\left(\frac18,\frac{3\sqrt3}{8}\right)$ を通るから、法線の方程式は $$\displaystyle y-\frac{3\sqrt3}{8}=\frac{1}{\sqrt3}\left(x-\frac18\right),$$ すなわち $x-\sqrt3y+1=0$ である。

(2) 曲線の長さを $L$ とすると、媒介変数表示の弧長公式より $$\displaystyle \begin{aligned} L&=\int_0^{\pi/2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\\ &=3\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos^4t\sin^2t+\sin^4t\cos^2t}\,dt\\ &=3\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt=\frac32. \end{aligned}$$ ここでは $\displaystyle 0\leq t\leq\frac{\pi}{2}$ なので $\sin t,\cos t\geq0$ を用いた。

(3) $x=\cos^3t,\ y=\sin^3t$ かつ $\displaystyle 0\leq t\leq\frac{\pi}{2}$ より、$x^{2/3}=\cos^2t,\ y^{2/3}=\sin^2t$ である。したがって曲線上では $x^{2/3}+y^{2/3}=1$ となり、$0\leq x\leq1$ における回転半径は $y=(1-x^{2/3})^{3/2}$ である。よって体積 $V$ は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1 y^2\,dx=\pi\int_0^1(1-x^{2/3})^3\,dx\\ &=\pi\int_0^1\left(1-3x^{2/3}+3x^{4/3}-x^2\right)dx\\ &=\pi\left(1-\frac95+\frac97-\frac13\right)=\frac{16\pi}{105}. \end{aligned}$$