2宮崎大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $n=2$ では $y^2\le x\le 6-y$。境界の交点は $y^2+y-6=0$ より $y=-3,2$、したがって領域は $-3\le y\le2$ の間で放物線 $x=y^2$ と直線 $x=6-y$ に挟まれる。各整数 $y=-3,-2,-1,0,1,2$ の行の点数は順に $1,5,7,7,5,1$ なので $a_2=26$。

(2) 直線上では $x=n(n+1)-y$。これが $x\ge y^2$ を満たす条件は $$y^2+y-n(n+1)=(y-n)(y+n+1)\le0.$$ よって整数 $y$ は $-n-1\le y\le n$ であり、個数は $2n+2$。

(3) $D_n$ の各既存行 $y=-n-1,\ldots,n$ では、上端が $n(n+1)$ から $(n+1)(n+2)$ に移るため整数点が各行に $2(n+1)$ 個増える。さらに新しい端の2行に各1点加わる。したがって $$a_{n+1}-a_n=(2n+2)\,2(n+1)+2=4(n+1)^2+2=4n^2+8n+6.$$

(4) 各行の点数を足すと $$\displaystyle a_n=\sum\limits _{y=-n-1}^{n}\bigl(n(n+1)-y-y^2+1\bigr).$$ ここで行数は $2n+2$、$\displaystyle \sum\limits _{y=-n-1}^{n}y=-(n+1)$、$\displaystyle \sum\limits _{y=-n-1}^{n}y^2=(n+1)(2n^2+4n+3)/3$。これを代入して整理すると $$\displaystyle a_n=\frac{2(n+1)(2n^2+n+3)}3.$$

$y$を整数に固定して行ごとの点数を数える。$n=2$では各行の点数を足し、一般の境界直線上では許される$y$の範囲を求める。領域を$D_n$から$D_{n+1}$へ広げたときの追加点で差を出し、各行の個数を和にして一般項を求める。