5宮崎大学 2017年 数学 第5問解答・解説

各人の出し方は独立で、全事象は $3^n$ 通りである。

1回目に勝者がいるときは、出た手が2種類である。勝つ手を出す人が $k$ 人なら、勝つ手の種類は3通り、その人の選び方は $\displaystyle \binom{n}{k}$ 通りであり、残りの人はその勝つ手に負ける手を出す。したがって $$\displaystyle P_k=\frac{3\binom{n}{k}}{3^n}=\frac{\binom{n}{k}}{3^{n-1}}\quad(1\leq k\leq n-1).$$ よって $\displaystyle P_1=\dfrac{n}{3^{n-1}}$ であり、$2\leq k\leq n-1$ では $\displaystyle P_k=\dfrac{\binom{n}{k}}{3^{n-1}}$ である。

1回目に勝者がいるのは、3組ある「勝つ手・負ける手」の組のいずれかだけが出る場合である。各組について、両方の手が出る並べ方は $2^n-2$ 通りだから、1回目に少なくとも1人の勝者がいる確率は $$\displaystyle \frac{3(2^n-2)}{3^n}=\frac{2^n-2}{3^{n-1}}.$$ したがって、誰も勝たない確率は $\displaystyle 1-\dfrac{2^n-2}{3^{n-1}}$ である。

$m$ 人でじゃんけんをしたとき1人だけ勝つ確率は、(1)と同じ数え方により $\displaystyle \dfrac{m}{3^{m-1}}$ である。ゲーム全体で1人の勝者が決まるのは、1回目に1人だけ勝つ場合、1回目に誰も勝たず全員で2回目をして1人だけ勝つ場合、または1回目に $k$ 人（$2\leq k\leq n-1$）が勝ち、その $k$ 人での2回目に1人だけ勝つ場合である。これらは互いに重ならないので、求める確率 $Q$ は $$\displaystyle Q=\frac{n}{3^{n-1}}+\left(1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}\right)\frac{n}{3^{n-1}}+\sum\limits _{k=2}^{n-1}\frac{\binom{n}{k}}{3^{n-1}}\frac{k}{3^{k-1}}.$$ 最後の和について、$\displaystyle k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$ と二項定理を用いると $$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n-1}\frac{\binom{n}{k}}{3^{n-1}}\frac{k}{3^{k-1}} =\frac{n}{3^{n-1}}\sum\limits _{j=1}^{n-2}\binom{n-1}{j}\left(\frac13\right)^j =\frac{n(4^{n-1}-3^{n-1}-1)}{9^{n-1}}.$$ これを代入して整理すると $$\displaystyle Q=\frac{n}{3^{n-1}}+\frac{n(4^{n-1}-2^n+1)}{9^{n-1}}.$$ 例えば $n=3$ では、1回目の勝者数が $1,2,0$ となる確率はいずれも $\displaystyle \dfrac13$ であり、全体で1人の勝者が決まる確率は $\displaystyle \dfrac13+\dfrac13\cdot\dfrac23+\dfrac13\cdot\dfrac13=\dfrac23$ となる。上の式も $\displaystyle \dfrac23$ を与える。

1回目のじゃんけんの出方を勝者数で場合分けし、全事象の数から勝者数の確率を求める。2回目についても同じ数え方を適用して、ゲーム終了時に1人の勝者が決まる確率を求める。