大阪大学 2017年数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

大阪大学2017年度第2問

複素数 $z$ は $z^{5}=1$ を満たし，実部と虚部がともに正であるものとする。硬貨を投げて表が出れば $1$ ，裏が出れば $0$ とし，5回投げて出た順に $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とおく。複素数 $w$ を $w=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}$ と定める。

(1) 5回とも表が出たとする。 $w$ の値を求めよ。

(2) $a_{0}=a_{2}=a_{3}=0,\ a_{1}=a_{4}=1$ のとき， $|w|<1$ であることを示せ。

(3) $|w|<1$ である確率を求めよ。

（配点率20%）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad w=0\quad$ 。 (2) $\quad |w|=(\sqrt5-1)/2<1\quad$ 。 (3) 確率 $\quad 3/8\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原文は第2問の全3小問。 $z^5=1$ の第1象限根は $e^{2\pi i/5}$ のみで、(1) の5項和は0、(2) の部分和は $\displaystyle z+z^{-1}=2\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{2}$ 。硬貨5回の結果を指数集合と見れば、成功はサイズ $0/5$ が2通り、サイズ $2/3$ の間隔 $2$ の組が各5通り、合計 $12/32=3/8$ 。サイズ $1/4$ や間隔1の組は条件を満たさない。旧A001/currentの結論と要点が一致し、高校範囲の複素根・場合分けで説明。

この問題で使う考え方

1の5乗根の和
複素数の絶対値
補集合による場合分け

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。