7千葉大学 2026年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad z^2=\frac{(1+i)^2}{2}=i,\qquad z^4=-1,\qquad z^8=1.$$ よって任意の整数 $n$ を $n=8q+r$（$q\text{ は整数},\ 0\le r\le7$）と書けば、$z^n=z^r$ である。各 $r$ について $$\displaystyle (z^r)_{r=0}^7= \left( 1,\frac{1+i}{\sqrt2},i,\frac{-1+i}{\sqrt2},-1, \frac{-1-i}{\sqrt2},-i,\frac{1-i}{\sqrt2} \right).$$ $$\displaystyle \text{(2)}\quad |a_0+a_1z|^2 =\left(a_0+\frac{a_1}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{a_1}{\sqrt2}\right)^2 =a_0^2+a_1^2+\sqrt2\,a_0a_1.$$ これが1であるから、$\sqrt2\,a_0a_1=1-a_0^2-a_1^2$。右辺は整数であり、$\sqrt2$ は無理数なので $a_0a_1=0$。したがって $a_0^2+a_1^2=1$ であり、整数解は $$(a_0,a_1)=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$$ に限る。 $$\text{(3)}\quad z^2=i,\qquad z^3=iz,\qquad z^4=-1.$$ ゆえに任意の有限和 $a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n$ は、$z^{4q+r}=(-1)^qz^r$（$0\le r\le3$）を用いて $$w=A+Bz+Ci+Dz^3\qquad(A,B,C,D\text{ は整数})$$ と書ける。ここで $$\displaystyle w=\left(A+\frac{B-D}{\sqrt2}\right) +i\left(C+\frac{B+D}{\sqrt2}\right)$$ だから $$|w|^2=A^2+B^2+C^2+D^2 +\sqrt2\{A(B-D)+C(B+D)\}.$$ $|w|=1$ と $\sqrt2$ の無理性から $$A^2+B^2+C^2+D^2=1,\qquad A(B-D)+C(B+D)=0.$$ 特に前者より $A,B,C,D$ のうち一つだけが $1$ または $-1$、他は0である。したがって $$w=1,-1,z,-z,i,-i,z^3,-z^3\text{ のいずれかであり、} w=z^k\quad(k\text{ は }0\le k\le7\text{ を満たす整数})\text{ と表せる。}$$ 逆に各 $z^k$（$0\le k\le7$）は係数を一つだけ1として表せ、$|z^k|=1$。これらがちょうど求める複素数である。