5千葉大学 2026年 数学 第5問解答・解説

まず、$f_n'(x)=e^{-x}x^{n-1}(n-x)$ である。$x>0$ では $e^{-x}x^{n-1}>0$ なので、$f_n$ は $0<x<n$ で増加し、$x>n$ で減少する。よって最大値は $f_n(n)=n^ne^{-n}$。また、$f_n''(x)=e^{-x}x^{n-2}\{x^2-2nx+n(n-1)\}=e^{-x}x^{n-2}\{(x-n)^2-n\}$。前の因子は $x>0$ で正であり、二次因子の符号は $x=n-\sqrt n,\ n+\sqrt n$ で変わる。$n\ge2$ では両者とも正なので、変曲点の $x$ 座標は $n-\sqrt n,\ n+\sqrt n$。 (2) $n\ge2$ について部分積分すると、$\displaystyle a_n(r)=[-x^ne^{-x}]_0^r+n\int_0^r x^{n-1}e^{-x}\,dx=na_{n-1}(r)-r^ne^{-r}$。初期値は $\displaystyle a_1(r)=\int_0^r xe^{-x}\,dx=[-(x+1)e^{-x}]_0^r=1-(r+1)e^{-r}$。 (3) $a_1(r)=1-e^{-r}-f_1(r)$ だから、与えられた $\displaystyle \lim\limits _{r\to\infty}f_1(r)=0$ と $e^{-r}\to0$ より $\displaystyle \lim\limits _{r\to\infty}a_1(r)=1$。また $n\ge2$ では $a_n(r)=na_{n-1}(r)-f_n(r)$ であり、$\displaystyle \lim\limits _{r\to\infty}f_n(r)=0$ が与えられている。したがって帰納的に $\displaystyle \lim\limits _{r\to\infty}a_n(r)=n\lim\limits _{r\to\infty}a_{n-1}(r)=n!$。