3佐賀大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>1$ では $\log x>0$ である。商の微分法と合成関数の微分法により、 $$\displaystyle y'=\frac{x\cdot \dfrac{n+1}{x}(\log x)^n-(\log x)^{n+1}}{x^2}=\frac{(\log x)^n(n+1-\log x)}{x^2}.$$ ここで $(\log x)^n>0$（$n=0$ のときも $(\log x)^0=1$）であり、$x^2>0$ だから、$y'$ の符号は $n+1-\log x$ の符号と一致する。したがって $1<x<e^{n+1}$ で増加し、$x>e^{n+1}$ で減少する。よって $x=e^{n+1}$ で最大値 $$\displaystyle y=\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}}$$ をとる。導関数の符号はこの点の前後で正から負に変わるため、極小値はない。また $y>0$ なので最小値もない。

(2) (1)より、すべての $x>1$ について $$\displaystyle 0\leq \frac{(\log x)^{n+1}}{x}\leq C_n,\qquad C_n=\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}}.$$ したがって $\log x>0$ を用いると $$\displaystyle 0\leq \frac{(\log x)^n}{x}=\frac{1}{\log x}\frac{(\log x)^{n+1}}{x}\leq \frac{C_n}{\log x}.$$ $x\to\infty$ のとき $\log x\to\infty$ だから、はさみうちの原理より $\displaystyle\lim\limits _{x\to\infty}\frac{(\log x)^n}{x}=0$。

(3) $\displaystyle I_n(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{(\log t)^n}{t^2}\,dt$ とおく。まず $$\displaystyle I_0=\lim\limits _{x\to\infty}\int_1^x\frac{1}{t^2}\,dt=\lim\limits _{x\to\infty}\left(1-\frac1x\right)=1.$$ $n\geq1$ のとき、有限区間で部分積分すると $$\displaystyle I_n(x)=\left[-\frac{(\log t)^n}{t}\right]_1^x+n\int_1^x\frac{(\log t)^{n-1}}{t^2}\,dt=-\frac{(\log x)^n}{x}+nI_{n-1}(x).$$ (2)より第1項は $x\to\infty$ で $0$ に収束する。$I_0=1$ を出発点とする帰納法で各 $I_n$ の極限が存在し、 $$I_n=nI_{n-1}\qquad(n\geq1).$$ よって $I_n=n(n-1)\cdots1 I_0=n!$ である。