2名古屋大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) 共有点を $\displaystyle (u,v)$ とすると $\displaystyle v=a^u$、$\displaystyle v=\log_a u$ より $\displaystyle u=a^v$ である。$\displaystyle a>1$ だから $\displaystyle a^x$ は増加し、異なる変数の値に対して同じ値をとらない。もし $\displaystyle u<v$ なら $\displaystyle v=a^u<a^v=u$ となり矛盾。同様に $\displaystyle u>v$ も矛盾する。従って $\displaystyle u=v$、すなわち共有点は $\displaystyle y=x$ 上にある。

(2) 共有点の座標を $\displaystyle (t,t)$ とすると、$\displaystyle a^t=t$ より $\displaystyle t>0$ であり、対数を取って $$\displaystyle \log a=\frac{\log t}{t}=:h(t).$$ 逆にこの等式を満たす $\displaystyle t>0$ は共有点 $\displaystyle (t,t)$ を与える。 $$\displaystyle h'(t)=\frac{1-\log t}{t^2}$$ より、$\displaystyle h$ は $\displaystyle 0<t<e$ で増加し、$\displaystyle t>e$ で減少する。従って各区間に高々1個の解があり、共有点は2個以下である。

(3) $\displaystyle h(1)=0$、$\displaystyle h(e)=\frac{1}{e}$、$\displaystyle t>e$ で $\displaystyle h(t)>0$ かつ $\displaystyle h(t)\to0$ である。また $\displaystyle 0<t<1$ では $\displaystyle h(t)<0$。$\displaystyle \log a>0$ なので、$\displaystyle 0<\log a<\frac{1}{e}$ では $\displaystyle 1<t<e$ と $\displaystyle t>e$ の範囲に解が各1個、$\displaystyle \log a>\frac{1}{e}$ では解がない。従って解がちょうど1個となるのは $\displaystyle \log a=\frac{1}{e}$ の場合であり、 $$\displaystyle \boxed{a=e^{\frac{1}{e}},\qquad (x,y)=(e,e)}.$$ 極限 $\displaystyle \frac{\log t}{t}\to0$ は、$\displaystyle t\ge1$ で $\displaystyle \log t=\int_1^t \frac{1}{u}\,du\le\int_1^t \frac{1}{\sqrt{u}}\,du=2(\sqrt t-1)$ と評価して、はさみうちで確認できる。