3名古屋大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) 二項定理から $$\displaystyle (a+b)^p-a^p-b^p=\sum\limits _{k=1}^{p-1}\binom pk a^{p-k}b^k.$$ 各 $1\le k\le p-1$ について $$\displaystyle k\binom pk=p\binom{p-1}{k-1}.$$ $p$ は素数で $p\nmid k$ だから $\displaystyle p\mid\binom pk$。従って和は $p$ で割り切れる。

(2) 二項定理より $$\displaystyle (a+2)^p-a^p=\sum\limits _{k=1}^{p}\binom pk a^{p-k}2^k.$$ 各項は偶数なので差も偶数である。

(3) $\Delta=(a+2)^p-a^p$ とおく。(1)を $(a,2)$ に適用すると $\Delta\equiv2^p\pmod p$。(1)を $(1,1)$ に適用すると $2^p-2$ は $p$ で割り切れるので、$\Delta\equiv2\pmod p$。また(2)より $\Delta\equiv0\pmod2$。 $p$ が奇素数なら $p$ と2は互いに素だから $\Delta-2$ は $2p$ で割り切れ、余りは $\boxed2$。$p=2$ なら $$\Delta=(a+2)^2-a^2=4(a+1)$$ より、4で割った余りは $\boxed0$。