2京都大学 2018年 数学 第2問解答・解説

任意の整数 $n$ について $$n^3-7n+9=(n^3-n)-6n+9.$$ $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ は連続する3整数の積なので3の倍数であり、$-6n+9$ も3の倍数である。従って $n^3-7n+9$ は全ての整数 $n$ について3の倍数となる。これが素数なら値は正の素数で、3の倍数だから値そのものが3である。 $$n^3-7n+9=3.$$ 移項して因数分解すると、これは $$n^3-7n+6=(n-1)(n-2)(n+3)=0$$ と同値である。 従って候補は $n=1,2,-3$。いずれも元の式の値が3となるため、全て素数を与える。 $$\boxed{n=-3,1,2}$$

全整数 $n$ について $n^3-n$ は連続3整数の積なので3の倍数であり、他の項も3の倍数。素数値は3に限られる。方程式を3と等置して因数分解し、候補 $-3,1,2$ が全て値3となることを確認する。