4九州大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) 3を法として、a,bはいずれも3の倍数でないため $a^2\equiv b^2\equiv1$ である。したがって $$f(1)=3+a^2+2b^2\equiv0\pmod 3, \qquad f(2)=17+4a^2+4b^2\equiv1\pmod 3.$$

(2) 整数解 $x$ があれば、元の式を $x(2x^2+a^2x+2b^2)=-1$ と書けば $x\mid1$ なので $x=1$ または $x=-1$ である。しかし $$f(1)=a^2+2b^2+3>0,$$ また $a^2\equiv b^2\equiv1\pmod3$ より $$f(-1)=a^2-2b^2-1\equiv1\pmod3,$$ だからどちらも根ではない。よって整数解は存在しない。

(3) $x=p/q$ を既約分数（$q>0$）とし、$f(p/q)=0$ とする。両辺に $q^3$ を掛けると $$2p^3+a^2p^2q+2b^2pq^2+q^3=0.$$ この式から $p\mid q^3$、かつ $q\mid2p^3$ を得る。$(p,q)=1$ より $|p|=1$ かつ $q\mid2$、従って $q=1$ または $q=2$ である。$q=1$ は(2)で排除した。$q=2$ の候補は $\displaystyle x=\pm\frac12$ だが、 $$\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac{a^2+5}{4}+b^2>0,$$ 一方 $$\displaystyle f\left(-\frac12\right)=\frac{a^2+3}{4}-b^2.$$ したがって有理数解があるための必要十分条件は $a^2+3=4b^2$、すなわち $$(2b-a)(2b+a)=3.$$ 整数の因数の組は $(2b-a,2b+a)=(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)$ であり、それぞれ $(a,b)=(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)$ を与える。よって求める組は $$\boxed{(a,b)=(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)}.$$ この4組では $f(x)=(2x+1)(x^2+1)$ となり、実際に $\displaystyle x=-\frac12$ が根である。