2九州大学 2018年 数学 第2問解答・解説

$R=(P+2Q)/3$。PR上の点を $X=P+\lambda(Q-P)$ とおけば $0\le\lambda\le2/3$。

(1) $P=(-a,y),Q=(a,y)$、$a=\sqrt{9-y^2}$、$0\le y<3$。水平線上でPRが覆うのは $-a\le x\le a/3$、幅は $4a/3$。従って $$\displaystyle [S]=\int_0^3\frac43\sqrt{9-y^2}\,dy =\frac43\cdot\frac{9\pi}{4}=3\pi.$$

(2) $P=(-3,0),Q=(u,v)$、$a=u+3\ge0$ とする。Qが半円上なので $a^2+v^2=6a$。$X=P+\lambda(Q-P)$ と置けば $x+3=\lambda a,\ y=\lambda v$、従って $b=x+3$ として $$b^2+y^2=6\lambda b\le4b.$$ 逆に $b>0,\ y\ge0,\ b^2+y^2\le4b$ なら $\lambda=(b^2+y^2)/(6b)\le2/3$ としてQを復元できる。$b=0$ の場合はPだけである。よってTは $(x+1)^2+y^2\le4,\ y\ge0$、中心(-1,0)・半径2の上半円盤。面積は $2\pi$。

(3) 第1象限で $S$ は $0\le x\le\sqrt{9-y^2}/3$。Tについては $$0\le x\le1,\qquad y^2\le3-2x-x^2.$$ 従って $9x^2+y^2\le8x^2-2x+3\le9$，後半は $9-(8x^2-2x+3)=2(1-x)(4x+3)\ge0$。 よって第1象限のTはSに含まれる。高さyでSの外半径は $r_S=\sqrt{9-y^2}/3$。$0\le y\le\sqrt3$ でTの外半径は $r_T=\sqrt{4-y^2}-1$、それ以降Tは第1象限にない。従って回転体積は $$\displaystyle V=\pi\left[\int_0^{\sqrt3}(r_S^2-r_T^2)\,dy+ \int_{\sqrt3}^3r_S^2\,dy\right].$$ 第一積分の値は $-19\sqrt3/9+4\pi/3$、第二は $2-8\sqrt3/9$。和を整理して $$\displaystyle V=\pi\left(2+\frac{4\pi}{3}-3\sqrt3\right).$$