6東京大学 2018年 数学 第6問解答・解説

(1) 線分 $OA$ 上の中心の $y$ 座標は 0 なので、$V_1$ の $y$ 座標の範囲は $-r\leq y\leq r$ である。線分 $BC$ 上の中心の $y$ 座標は 1 なので、$V_3$ の $y$ 座標の範囲は $1-r\leq y\leq1+r$ である。したがって両方と共有点をもつための範囲は $$1-r\leq t\leq r.$$ この範囲で平面 $y=t$ を $(x,z)$ 平面と同一視し、$\rho_1=\sqrt{r^2-t^2}$、$\rho_3=\sqrt{r^2-(1-t)^2}$ とおく。断面 $C_1(t)$ は、点 $(0,0)$ と $(1,0)$ を結ぶ線分からの距離が $\rho_1$ 以下の点全体である。断面 $C_3(t)$ は、点 $(1,0)$ と $(1,1)$ を結ぶ線分からの距離が $\rho_3$ 以下の点全体である。すなわち、$C_1(t)$ は長方形 $[0,1]\times[-\rho_1,\rho_1]$ の両端に中心 $(0,0),(1,0)$、半径 $\rho_1$ の半円を付けた横向きカプセルである。$C_3(t)$ は長方形 $[1-\rho_3,1+\rho_3]\times[0,1]$ の上下端に中心 $(1,0),(1,1)$、半径 $\rho_3$ の半円を付けた縦向きカプセルである。両者の中心線は $(1,0)$ で接続するので、これらを同じ $xz$ 平面に重ねて描けばよい。これらを同じ $xz$ 平面に重ねた例を図に示す。図は $r=3/5,\ t=1/2$ の例で、一般の断面は $\rho_1=\sqrt{r^2-t^2}$ および $\rho_3=\sqrt{r^2-(1-t)^2}$ を半径とする。

(2) $u=1-x,\ v=y,\ w=z$ とおく。この座標では $V_1,V_2,V_3$ の中心線はそれぞれ $$L_1=\{(u,0,0):0\leq u\leq1\},\quad L_2=\{(0,v,0):0\leq v\leq1\},\quad L_3=\{(0,1,w):0\leq w\leq1\}$$ である。$p=(u,v,w)$ が $V_1\cap V_3$ に属せば、$|v|\leq r$ と $|v-1|\leq r$ だから $1-r\leq v\leq r$ であり、$0\leq v\leq1$ も成り立つ。また $V_3,V_1$ からそれぞれ $|u|\leq r<1,\ |w|\leq r<1$ が成り立つ。したがって $p$ から $V_2$ までの距離の二乗は $u^2+w^2$ である。

もし $u<0$ なら、$V_1$ への最近点は $L_1$ の端点 $u=0$ なので $$u^2+v^2+w^2\leq r^2,$$ 従って $u^2+w^2\leq r^2$ である。もし $w<0$ なら、$V_3$ への最近点は端点 $w=0$ なので $$u^2+(v-1)^2+w^2\leq r^2$$ から同じ結論を得る。残る場合 $u,w\geq0$ では、$u,w<1$ より各中心線上に最近点があり、 $$v^2+w^2\leq r^2,\qquad u^2+(1-v)^2\leq r^2.$$ これらを加え、 $$\displaystyle v^2+(1-v)^2=2\left(v-\frac12\right)^2+\frac12\geq\frac12$$ を使うと $$\displaystyle u^2+w^2\leq2r^2-\frac12.$$ よって $\displaystyle r^2\leq\frac12$ なら必ず $u^2+w^2\leq r^2$ となり、$V_1\cap V_3\subset V_2$ である。逆に $\displaystyle r^2>\frac12$ とし、$\displaystyle u=w=\sqrt{r^2-\frac14},\ v=\frac12$ とする。この点は $0<u<1,\ 0<w<1$ で、$V_1,V_3$ の双方までの距離が $r$ である一方、$V_2$ までの距離の二乗は $\displaystyle 2r^2-\frac12>r^2$ である。従って包含条件は必要十分に $$\displaystyle \frac12<r\leq\frac1{\sqrt2}.$$

(3) 三つの立体は合同で体積がそれぞれ $S$ であり、隣り合う二つの共通部分の体積はどちらも $T$ である。(2)より $V_1\cap V_3\subset V_2$ なので、三重共通部分の体積は $V_1\cap V_3$ の体積と等しい。包除原理より $$\operatorname{Vol}(V)=3S-(T+T+\operatorname{Vol}(V_1\cap V_3))+\operatorname{Vol}(V_1\cap V_2\cap V_3)=3S-2T.$$

(4) $V_1$ は長さ 1 の円柱と半径 $r$ の球二つ分の半球からなるので $$\displaystyle S=\pi r^2+\frac43\pi r^3.$$ $T$ は共通端点 $A$ を原点とする $u=1-x,\ v=y,\ w=z$ の座標で求める。$uv$ 平面で $u<0$ または $v<0$ の部分では、$V_1\cap V_2$ は原点中心の半径 $r$ の球のうち三つの符号象限に当たる部分であり、その体積は $$\displaystyle \frac34\cdot\frac43\pi r^3=\pi r^3$$ である。$u,v\geq0$ の部分では、$r<1$ より共通部分の最近点は各中心線分上にあり、$\displaystyle 0\leq u,v\leq r,\quad |w|\leq\sqrt{r^2-\max(u^2,v^2)}$ となる。その体積は対角線 $u=v$ で積分領域を二分して $$\displaystyle \begin{aligned} 2\int_0^r\int_0^r\sqrt{r^2-\max(u^2,v^2)}\,dv\,du&=4\int_0^r u\sqrt{r^2-u^2}\,du\\ &=\frac43r^3. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle T=\pi r^3+\frac43r^3.$$ これを (3) に代入して $$\displaystyle \operatorname{Vol}(V)=3S-2T=3\pi r^2+\left(2\pi-\frac83\right)r^3.$$