2東京大学 2018年 数学 第2問解答・解説

$\displaystyle a_n=\frac{\binom{2n+1}{n}}{n!},\qquad a_{n-1}=\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{(n-1)!}$. (1) $\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\binom{2n+1}{n}}{\binom{2n-1}{n-1}}\cdot\frac1n=\frac{2(2n+1)}{n(n+1)}=\frac{2n+1}{n(n+1)/2}$. $n(n+1)$ は偶数であり、$\gcd(2n+1,n)=\gcd(2n+1,n+1)=1$。したがって$\gcd(2n+1,n(n+1)/2)=1$で、 $\displaystyle p_n=\frac{n(n+1)}2,\qquad q_n=2n+1$. (2) $a_1=3,\qquad a_2=5$. $n\ge3$ なら $\displaystyle a_n=5\prod\limits _{k=3}^{n}\frac{2k+1}{k(k+1)/2}$. 分子はすべて奇数である一方、分母には最初の因子 $k=3$ に由来する $6$ がある。ゆえに積の約分後も分母に$2$が残り、$a_n$は整数ではない。 したがって、$a_n$が整数となるための必要十分条件は$n=1$または$n=2$である。

$a_n/a_{n-1}=2(2n+1)/[n(n+1)]=(2n+1)/[n(n+1)/2]$。$n(n+1)/2$は整数で、$2n+1$は$n$および$n+1$の両方と互いに素なので、表示は既約である。$a_1=3,\ a_2=5$。$n\ge3$では$\displaystyle a_n=5\prod\limits _{k=3}^n (2k+1)/[k(k+1)/2]$。この積の分子は奇数、分母には$k=3$の因子$6$が含まれるため、2の因子は約分されず整数にならない。よって整数項は$n=1,2$のみ。