1福井大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) $n=1$ のとき、$k=0,1,2$ の各項は $1,3,6$ なので $$\boxed{a_1=1+3+6=10}.$$ $n=2$ のとき、$k=0,1,2,3,4$ の各項は $1,3,6,8,11$ なので $$\boxed{a_2=1+3+6+8+11=29}.$$

(2) 上の和で $a_{n+1}$ と $a_n$ の共通部分は $k=0,1,\ldots,2n$ の項である。従って差は最後の2項となり、 $$\displaystyle \begin{aligned} b_n=a_{n+1}-a_n &=\left(\left\lfloor\frac{5(2n+1)}2\right\rfloor+1\right) +\left(\left\lfloor\frac{5(2n+2)}2\right\rfloor+1\right)\\ &=(5n+3)+(5n+6) =\boxed{10n+9}. \end{aligned}$$

(3) $b_k=a_{k+1}-a_k$ を $k=1$ から $n-1$ まで加えると $$\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k =10+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(10k+9).$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} a_n&=10+10\frac{(n-1)n}{2}+9(n-1)\\ &=\boxed{5n^2+4n+1}\qquad(n\ge1). \end{aligned}$$