和歌山県立医科大学 2016年数学第1問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

和歌山県立医科大学2016年度第1問

(1) 5以下の異なる3個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか。

(2) 自然数 $m,n$ を $m<n$ のようにとる。 $m$ 個の自然数 $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ を $1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{m}\leq n$ のようにとり，和 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}$ を考える。この形で表される自然数は何個あるか。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
7個。
(2)
m(n−m)+1個。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 1から5までの異なる3数の和は6以上12以下である。6,7,8,9,10,11,12はそれぞれ $1+2+3$ 、 $1+2+4$ 、 $1+2+5$ 、 $1+3+5$ 、 $2+3+5$ 、 $2+4+5$ 、 $3+4+5$ として実現でき、可能な和はちょうど7種類。

(2) $a_1<\cdots<a_m$ を $1\le a_1<\cdots<a_m\le n$ とし、 $b_i=a_i-i$ と置くと $0\le b_1\le\cdots\le b_m\le n-m.$ 和の最小値は $1+\cdots+m=m(m+1)/2$ 、最大値は $(n-m+1)+\cdots+n=m(2n-m+1)/2$ 。各中間の和も実現できる。実際、余分な和を $t$ （ $0\le t\le m(n-m)$ ）とし、 $t=mq+r$ （ $0\le r<m$ ）と書く。 $b_i$ を前から $m-r$ 個は $q$ 、後ろ $r$ 個は $q+1$ とすれば、 $0\le b_1\le\cdots\le b_m\le n-m$ で総和は $t$ 。従って取り得る和は最小値から最大値までの連続する整数であり、その個数は $\displaystyle \frac{m(2n-m+1)}2-\frac{m(m+1)}2+1=m(n-m)+1.$

この問題で使う考え方

組合せ
和の範囲
構成による証明

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。