8千葉大学 2012年 数学 第8問解答・解説

(1) $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2r$ である。左辺は整数列の項の整数係数による和なので整数であり、$2r\text{ は整数}$。

(2) $\Delta b_n=b_{n+1}-b_n$ とする。$\{b_n\}$ が整数列なら、$b_1,\Delta b_1,\Delta^2b_1,\Delta^3b_1$ はすべて整数である。式を計算すると、 $$\begin{aligned}b_1&=p+q+r+s,\\\Delta b_1&=q+3r+7s,\\\Delta^2b_1&=2r+12s,\\\Delta^3b_1&=6s.\end{aligned}$$ したがって $6s\text{ は整数}$。また $12s=2(6s)\text{ は整数}$ なので $2r=\Delta^2b_1-12s\text{ は整数}$。さらに $q+r+s=\Delta b_1-2r-6s\text{ は整数}$、$p=b_1-(q+r+s)\text{ は整数}$。よって4条件は必要である。

逆に、$p,q+r+s,2r,6s$ がすべて整数なら、正の整数 $n$ に対し $$\displaystyle b_n=p+n(q+r+s)+r(n^2-n)+s(n^3-n)=p+n(q+r+s)+2r\binom n2+6s\binom{n+1}3.$$ $\displaystyle \binom n2$ と $\displaystyle \binom{n+1}3$ は整数なので、右辺は整数である。したがって $\{b_n\}$ は整数列であり、条件は十分でもある。