1千葉大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$f_a(x)=x^2-ax+a$ とする。異なる2根を $u<v$ とすると，解と係数の関係から $$(u-1)(v-1)=uv-u-v+1=1.$$ もし両根が $1\le x\le2$ の範囲にあれば左辺は1以下で，等号には $u=v=2$ が必要となり矛盾。両根が $3\le x\le4$ の範囲にあれば左辺は4以上となり矛盾する。従って小さい根 $u$ は $1\le u\le2$、大きい根 $v$ は $3\le v\le4$ を満たす必要がある。 上に開く放物線なので，この配置から $f_a(3)\le0$，$f_a(4)\ge0$ が必要。すなわち $$\displaystyle 9-2a\le0,\qquad16-3a\ge0\quad\text{より}\quad\frac92\le a\le\frac{16}3.$$ 逆にこの範囲なら $f_a(1)=1>0$，$f_a(2)=4-a<0$，$f_a(3)\le0$，$f_a(4)\ge0$。 連続性より $1<x<2$ に1根、$3\le x\le4$ に1根があり，区間が離れているので異なる。二次式の根は高々2個だから条件を満たす。 よって必要十分条件は $\boxed{9/2\le a\le16/3}$。