3近畿大学 2012年 数学 第3問解答・解説

$z=5^x$ とおくと $z>0$ であり、 $$\displaystyle t=z+\frac1z=2+\frac{(z-1)^2}{z}\ge2.$$ 等号は $z=1$、すなわち $x=0$ のときに限る。また $$\displaystyle 25^x+\frac1{25^x}=z^2+\frac1{z^2}=\left(z+\frac1z\right)^2-2=t^2-2.$$ 従って、$g(t)$ の式は $$g(t)=t^2+2p(t-1)+5=t^2+2pt+5-2p.$$ なお、(2)(3)ではこの二次式の実数解 $t$ を扱い、(5)で実際に $x$ から得られる範囲 $t\ge2$ を用いる。

(2) $g(t)=0$ が実数解をただ1個もつのは判別式が $0$ のときである。 $$\Delta=(2p)^2-4(5-2p)=4(p^2+2p-5)=4\bigl((p+1)^2-6\bigr).$$ よって $p=-1\pm\sqrt6$、重解は $t=-p$ だから $$(p,t)=(-1-\sqrt6,1+\sqrt6),\qquad(-1+\sqrt6,1-\sqrt6).$$

(3) $u=t-2$ とおくと $$g(u+2)=u^2+2(p+2)u+(2p+9).$$ その2根を $u_1=t_1-2<u_2=t_2-2$ とすれば、根の和・積は $$u_1+u_2=-2(p+2),\qquad u_1u_2=2p+9,$$ 判別式は $4\bigl((p+1)^2-6\bigr)$ である。

a) $t_1<2<t_2$ は $u_1<0<u_2$ と同値であり、これは積が負であることと同値。従って $$\displaystyle 2p+9<0\quad\text{すなわち}\quad p<-\frac92.$$ 積が負なら根は自動的に異なる実数である。

b) $t_1=2<t_2$ は $u_1=0<u_2$ である。定数項が $0$ となる条件から $p=-9/2$。このとき $$g(u+2)=u^2-5u=u(u-5)$$ なので $u_2=5>0$ も満たす。

c) $2<t_1<t_2$ は $0<u_1<u_2$ と同値である。根が異なる正の実数となる条件は、根の和が正、積が正、判別式が正であることだから $$\displaystyle p<-2,\qquad p>-\frac92,\qquad (p<-1-\sqrt6\ \text{または}\ p>-1+\sqrt6).$$ これらの共通範囲は $$\displaystyle -\frac92<p<-1-\sqrt6.$$

d) $t_1<t_2<2$ は $u_1<u_2<0$ と同値である。根が異なる負の実数となる条件は、根の和が負、積が正、判別式が正であること。根の和が負となる $p>-2$ のもとでは積も正であり、判別式が正となる条件との共通範囲は $$p>-1+\sqrt6.$$

(4) $z=5^x>0$ とおくと、方程式は $z^2-tz+1=0$ となる。$z$ の解は $$\displaystyle z=\frac{t\pm\sqrt{t^2-4}}2.$$ この二次方程式が異なる正の解を2個もつのは $t>2$ のときに限る（$t=2$ では重解 $z=1$、$t<-2$ では2解とも負）。指数関数 $5^x$ は実数全体から正の実数全体への1対1対応なので、求める範囲は $t>2$。

(5) $t=2$ のとき $x=0$ の1個、$t>2$ のときは (4) より異なる $x$ が2個対応する。 $p<-9/2$ では (3)a) のとおり $t>2$ の根が1個なので $x$ は2個。 $p=-9/2$ では $t$ の根は $2,7$ であり、対応する $x$ は $1+2=3$ 個。 $-9/2<p<-1-\sqrt6$ では (3)c) のとおり2根とも $2$ より大きく、$x$ は4個。 $p=-1-\sqrt6$ では重根 $t=1+\sqrt6>2$ に異なる $x$ が2個対応する。 最後に $p>-1-\sqrt6$ では、$-1-\sqrt6<p<-1+\sqrt6$ のとき判別式が負、$p=-1+\sqrt6$ のとき重根 $t=1-\sqrt6<2$、$p>-1+\sqrt6$ のとき (3)d) により2根とも $2$ 未満である。従ってこの範囲では $x$ は0個。 以上より $$\displaystyle \text{異なる実数解 }x\text{ の個数}= \begin{cases} 2 & p<-\dfrac92,\\ 3 & p=-\dfrac92,\\ 4 & -\dfrac92<p<-1-\sqrt6,\\ 2 & p=-1-\sqrt6,\\ 0 & p>-1-\sqrt6. \end{cases}$$