1近畿大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle I=\int_0^3 f(x)\,dx$ とおく。与式は $f(x)=2x^2-14x+I$ だから $$\displaystyle I=\int_0^3(2x^2-14x+I)\,dx =18-63+3I=3I-45.$$ よって $I=45/2$、従って $$\displaystyle f(x)=2x^2-14x+\frac{45}{2}.$$

(1) 上で $I=45/2$ を得た。

(2) $f(x)=0$ を2倍すると $$4x^2-28x+45=(2x-5)(2x-9)=0$$ なので、$x_1=5/2$、$x_2=9/2$。

(3) 平方完成すると $$\displaystyle f(x)=2\left(x-\frac72\right)^2-2.$$ この放物線は $x=7/2$ まで減少し、その後増加する。$a\leq x\leq a+1$ の範囲に頂点が含まれる条件は $a\le7/2\le a+1$、すなわち $5/2\le a\le7/2$ であり、この範囲では最小値 $m(a)=-2$。 頂点が区間の右側にある $0\le a\le5/2$ では $m(a)=f(a+1)$、頂点が区間の左側にある $a\ge7/2$ では $m(a)=f(a)$ である。したがって、最小値が一定となる区間は $5/2\le a\le7/2$。

グラフは下に凸の放物線なので、最大値は区間の端点でとる。端点での値を比較すると $$f(a)-f(a+1)=4(3-a),$$ よって $$M(a)=\begin{cases}f(a)&(0\le a\le3),\\ f(a+1)&(a\ge3).\end{cases}$$ また $$\displaystyle f(x)\le6 \text{すなわち} 2\left(x-\frac72\right)^2\le8 \text{すなわち} \frac32\le x\le\frac{11}{2}.$$ 従って $0\le a\le3$ の範囲では $M(a)=f(a)\le6$ となるのは $3/2\le a\le3$、$a\ge3$ の範囲では $M(a)=f(a+1)\le6$ となるのは $3\le a\le9/2$。合わせると $$\displaystyle M(a)\le6\quad\text{すなわち}\quad\frac32\le a\le\frac92.$$