2山口大学 2016年 数学 第2問解答・解説

数学確認 (1) 円との共有点条件に $t=x^2$ を代入すると $$f(t)=a^2t^2+(1-2ab)t+b^2-1=0.$$ $a^2>0$、$(b^2-1)/a^2>0$ なので、実根があれば2根は同符号である。共有点がちょうど2個という条件は正の $t$ の解が1種類であることを意味するため、その解は重解。判別式を 0 とすると $4a^2-4ab+1=0$、したがって $\displaystyle b=a+\frac1{4a}$。この重解は $\displaystyle t_0=1-\frac1{4a^2}$。

(2) 放物線の $x$ 切片の絶対値を $r$ とすると $\displaystyle r^2=b/a=1+\frac1{4a^2}$。放物線と $x$ 軸で囲まれる全体の面積は $$\displaystyle 2\int_0^r(b-ax^2)\,dx=\frac{(4a^2+1)^{3/2}}{6a^2}.$$ 重解を用いると $x^2+(ax^2-b)^2-1=a^2(t-t_0)^2\ge0$。また $\displaystyle b=a+\frac1{4a}$ より $|x|\le1$ では $ax^2-b<0$。したがって放物線は円の下半円上またはその下にあり、除く部分は下半円全体 $\pi/2$。よって $$\displaystyle S=\frac{(4a^2+1)^{3/2}}{6a^2}-\frac\pi2.$$

(3) $u=4a^2>1$ とおくと $$\displaystyle S+\frac\pi2=\frac{2(u+1)^{3/2}}{3u},\qquad 4(u+1)^3-27u^2=(u-2)^2(4u+1)\ge0.$$ したがって $S+\pi/2\ge\sqrt3$。等号は許容範囲内の $u=2$、すなわち $a=1/\sqrt2$ で成立し、最小値は $\sqrt3-\pi/2$。