3山口大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $\alpha=x_1+y_1i$, $\beta=x_2+y_2i$ とおく。座標による三角形の面積の公式から、 $$\displaystyle S=\frac12|x_1y_2-y_1x_2|.$$ 一方、 $$\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta=(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)-(x_1-y_1i)(x_2+y_2i)=2i(y_1x_2-x_1y_2),$$ したがって $$\displaystyle \frac14\left|\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta\right|=\frac12|x_1y_2-y_1x_2|=S.$$

(2) (i) $u=|\alpha-1|,\ v=|\alpha+1|$ とおくと u+v=k である。また $\beta^2=1-\alpha^2=(1-\alpha)(1+\alpha)$ より、 $$|\beta|^2=|\beta^2|=uv.$$ さらに $$u^2+v^2=|\alpha-1|^2+|\alpha+1|^2=2(|\alpha|^2+1).$$ ゆえに $$k^2=(u+v)^2=u^2+v^2+2uv=2(|\alpha|^2+1)+2|\beta|^2,$$ したがって $$\displaystyle |\alpha|^2+|\beta|^2=\frac{k^2}{2}-1,$$ これは一定である。

(ii) $C=|\alpha|^2+|\beta|^2,\ w=\alpha\overline{\beta}=a+bi$ とおく。(i)より C=$\displaystyle \frac{k^2}{2}$-1 である。条件 $\alpha^2$+$\beta^2$=1 の絶対値を二乗すると、 $$1=|\alpha^2+\beta^2|^2=|\alpha|^4+|\beta|^4+2\operatorname{Re}(\alpha^2\overline{\beta}^{\,2})=C^2-2|w|^2+2\operatorname{Re}(w^2).$$ ここで $|w|^2=a^2+b^2$、$\operatorname{Re}(w^2)=a^2-b^2$ だから、 $$1=C^2-4b^2.$$ よって $$|\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta|=|w-\overline{w}|=2|b|=\sqrt{C^2-1}.$$ (1)を用い、k>2であることから $$\displaystyle S=\frac14\sqrt{\left(\frac{k^2}{2}-1\right)^2-1}=\frac{k\sqrt{k^2-4}}{8},$$ となり一定である。