4山口大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1)

$\theta=\pi/5$ とおくと $p=2\cos\theta>0$ であり，二倍角の公式から $$\displaystyle \cos2\theta=2\cos^2\theta-1=\frac{p^2}{2}-1.$$ 与えられた等式①より $$\displaystyle 1=4\cos2\theta\cos\theta =2p\left(\frac{p^2}{2}-1\right)=p^3-2p.$$ したがって $$0=p^3-2p-1=(p+1)(p^2-p-1).$$ $p+1>0$ だから $p^2=p+1$。

(2)

$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$ より $$\displaystyle b_1=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}} =\cos\frac{3\pi}{5} =-\cos\frac{2\pi}{5}.$$ また $$\displaystyle \cos\frac{2\pi}{5}=\frac{p^2}{2}-1=\frac{p-1}{2}$$ なので $$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2},\qquad b_2^2=1-b_1^2=\frac{p+2}{4}.$$

(3)

表示式の第3成分から $m=c_3$ である。角条件と単位長条件より $$\displaystyle c_1=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} =\cos\frac{3\pi}{5}=b_1, \qquad b_1c_1+b_2c_2=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}} =\cos\frac{3\pi}{5}=b_1.$$ $b_2>0$ と $b_2^2=1-b_1^2$ から $$\displaystyle c_2=\frac{b_1(1-b_1)}{b_2},\qquad c_1^2+c_2^2=\frac{2b_1^2}{1+b_1}.$$ ここで $b_2^2>0$ なので $1+b_1>0$ である。$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$ より $$\displaystyle m^2=c_3^2=1-c_1^2-c_2^2 =1-\frac{2b_1^2}{1+b_1} =1-\frac{(1-p)^2}{3-p} =\frac1{3-p}.$$ (1) から $(2+p)(3-p)=6+p-p^2=5$ だから $$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}.$$

(4)

底面を $\triangle OAB$ とすると，その面積は $b_2/2$ である。高さは $c_3=m>0$ なので $$\displaystyle V=\frac13\cdot\frac{b_2}{2}\cdot c_3=\frac{b_2c_3}{6}.$$ (2),(3) と正値条件から $$\displaystyle b_2=\frac{\sqrt{p+2}}{2},\qquad c_3=\sqrt{\frac{p+2}{5}}.$$ また (1) より $(p+2)^2=p^2+4p+4=5p^2$ であり，$p>0$ だから $p+2=\sqrt5\,p$。したがって $b_2c_3=p/2$ となり， $$\displaystyle V=\frac{p}{12}.$$