2金沢医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

①と②の高さの差を $$g(x)=\bigl(-x^2+2(t-2)x-t^2+6t-2\bigr)-x^2 =-2x^2+2(t-2)x-t^2+6t-2$$ とおく。

(1) ①と②が接するとき，$g(x)=0$ は重解をもつ。判別式は $$\Delta=\{2(t-2)\}^2-4(-2)(-t^2+6t-2)=4t(8-t)$$ なので，$\Delta=0$ より $t=0$ または $t=8$。重解は $x=-(t-2)/2\cdot(-1)=(t-2)/2$ であり，$t=0$ では $x=-1,\ y=1$，$t=8$ では $x=3,\ y=9$。したがって $A=(-1,1),\ B=(3,9)$ である。

(2) 直線ABの傾きは $(9-1)/(3-(-1))=2$ である。Aを通るから切片は $1-2(-1)=3$，よって $$\text{③}\quad y=2x+3.$$

(3) $0<t<8$ なら $\Delta>0$ で，$g(x)=0$ は異なる二実根 $\alpha<\beta$ をもつ。根の差は二次方程式の解の公式から $$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{\sqrt{\Delta}}{2}=\sqrt{t(8-t)}.$$ $g(x)$ の最高次係数は $-2$ なので，根の間では $g(x)=2(x-\alpha)(\beta-x)>0$。したがって囲まれた面積は $$\displaystyle S=\int_\alpha^\beta g(x)\,dx =2\int_0^{\beta-\alpha}u\bigl((\beta-\alpha)-u\bigr)du =\frac{(\beta-\alpha)^3}{3} =\frac13\{t(8-t)\}^{3/2}.$$ ここで $t(8-t)=16-(t-4)^2\leq16$ で，等号は $t=4$ のときに限る。$s\mapsto s^{3/2}$ は $s\geq0$ で増加するため，Sは $t=4$ のとき最大となり，最大値は $16^{3/2}/3=64/3$ である。

(4) ①と③の交点は $$x^2=2x+3\quad\text{すなわち}\quad(x+1)(x-3)=0$$ より $x=-1,3$。この区間では $2x+3-x^2\geq0$ だから $$\displaystyle S_2=\int_{-1}^{3}(2x+3-x^2)dx =\left[x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{3} =\frac{32}{3}.$$ 一方，(3)の最大値 $S_1=64/3$ なので $$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{64/3}{32/3}=2.$$

検算として，$t=4$ では高さの差が $g(x)=-2(x+1)(x-3)$ となり，交点はA,Bと同じ $-1,3$。その面積は $$\displaystyle 2\int_{-1}^{3}(x+1)(3-x)dx=\frac{64}{3}$$ で，最大値と一致する。