1金沢医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

硬貨の表裏と3個のさいころの出方を合わせると，等確率な結果は $2\cdot6^3=432$ 通りである。硬貨の表の場合と裏の場合はそれぞれ $216$ 通りある。

$1$ 硬貨が表で $a+b+c=7$ となる組を数える。$x=a-1, y=b-1, z=c-1$ とすると $x+y+z=4$ であり，非負整数解は $$\displaystyle \binom{4+3-1}{3-1}=\binom62=15$$ 通りである（和が4なので $x,y,z\leq5$ は自動的に満たす）。裏では $abc=7$ は不可能である。よって確率は $$\displaystyle \frac{15}{432}=\frac5{144}.$$

$2$ 表で $a+b+c=15$ とする。$x=6-a, y=6-b, z=6-c$ と置くと $x+y+z=3$ なので，組は $$\displaystyle \binom{3+3-1}{2}=\binom52=10$$ 通りである。裏で $abc=15$ となるのは，目が $1,3,5$ の並べ替えだけで，$3!=6$ 通りである。したがって $$\displaystyle \frac{10+6}{432}=\frac{16}{432}=\frac1{27}.$$

$3$ 表では $a+b+c\leq18<90$ だから216通りすべてが条件を満たす。裏で $abc<90$ となる組を数える。各 $a,b$ に対して$1,2,3,4,5,6$ のうち条件を満たす $c$ の個数は次表の通りである。 $$\begin{array}{c|rrrrrr|r} &b=1&2&3&4&5&6&\text{計}\\\hline a=1&6&6&6&6&6&6&36\\ a=2&6&6&6&6&6&6&36\\ a=3&6&6&6&6&5&4&33\\ a=4&6&6&6&5&4&3&30\\ a=5&6&6&5&4&3&2&26\\ a=6&6&6&4&3&2&2&23\\\hline \text{計}&&&&&&&184 \end{array}$$ 例えば $ab=15$ のときは $15c<90$，すなわち $c<6$ なので5通りとなる。同様に各欄を数え，合計は $184$ 通りである。したがって条件を満たす全結果は $216+184=400$ 通りで，確率は $$\displaystyle \frac{400}{432}=\frac{25}{27}.$$

$4$ 表では和が $3$ から $18$ までなので，10の倍数は和 $10$ の場合だけである。$x=a-1, y=b-1, z=c-1$ とすると $x+y+z=7, 0\leq x,y,z\leq5$。上限制限を無視した解は $$\displaystyle \binom{7+3-1}{2}=\binom92=36$$ 通りである。例えば $x\geq6$ の解は $x'=x-6$ として $x'+y+z=1$ となり3通りあり，$y\geq6$，$z\geq6$ もそれぞれ3通りある。二つの変数が同時に6以上となることはない。ゆえに和10は $36-3\cdot3=27$ 通り。

裏で積が10の倍数となるには，少なくとも一つの目が5で，かつ少なくとも一つの目が偶数でなければならない（目に含まれる5の因子と2の因子が必要）。5を少なくとも一つ含む並びは $6^3-5^3=91$ 通りである。そのうち偶数を含まない並びは，目が $1,3,5$ に限られ，少なくとも一つ5を含むので $3^3-2^3=19$ 通り。したがって裏の場合は $91-19=72$ 通りである。よって求める確率は $$\displaystyle \frac{27+72}{432}=\frac{99}{432}=\frac{11}{48}.$$

検算として，$3$では裏の全216通りから $abc\geq90$ の32通りを除くと184通りとなり，上の表の合計と一致する。また$4$の99通りは分母432を約分すると $11/48$ となる。