香川大学 2021年数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

香川大学2021年度第2問

中の見えない2つの袋 $A,B$ があり、どちらにも赤球1個と白球1個が入っている。この2つの袋から同時に1個ずつ球を取り出して他方の袋に入れるという試行を繰り返す。 $n$ 回の試行の後に最初と同じになる確率を $a_{n}$ 、そうでない確率を $b_{n}$ とするとき、次の問に答えよ。「最初と同じ」とは、どちらの袋にも赤球1個と白球1個が入っている状態を指す。

(1) $a_{1},a_{2},a_{3}$ を求めよ。

(2) $a_{n+1}$ を $a_{n},b_{n}$ を用いて表せ。

(3) $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

初期状態と同じ状態を $S$ ，それ以外を $T$ とする。 $T$ は一方が赤2個，他方が白2個の状態である。 $S$ からは同色交換なら $S$ ，異色交換なら $T$ なので各確率 $1/2$ 。 $T$ からは必ず $S$ へ戻る。よって $\displaystyle a_{n+1}=\frac12a_n+b_n=1-\frac12a_n.$ (1) $a_0=1$ から $a_1=1/2,a_2=3/4,a_3=5/8$ 。 (2) 求める関係は上記の $a_{n+1}=a_n/2+b_n$ 。 (3) $a_{n+1}-2/3=-(a_n-2/3)/2$ だから等比数列として $\displaystyle a_n=\frac23-\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1}\quad(n\ge1).$

この問題で使う考え方

確率の基本法則
条件付き確率

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。