4名古屋市立大学 2021年 数学 第4問解答・解説

各番号の組について，1枚だけ机上にあるものを未完成の組と呼ぶ。$j$ 回目の取り出しの直前，その組数を $s$，まだ2枚とも箱の中にある番号の組数を $u$ とする。すでに完成した組は取り上げられているので，箱の中は $s+2u$ 枚であり，机上には $s$ 枚残っている。$j$ 回目に完成して取り上げられる組数を $c_j$ とすると，2枚の取り出し方は次の三つの場合に尽きる。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c} c_j&\text{取り出す2枚}&\text{場合の数}&\text{取り出した後の状態}\ (s',u')\\\hline 0&\text{異なる二つの未出現番号から各1枚}&4\binom u2&(s+2,u-2)\\ 1&\text{机上の1枚の相方と未出現番号の1枚，または同じ未出現番号の2枚}&2su+u&(s,u-1)\\ 2&\text{机上の異なる2枚の相方}&\binom s2&(s-2,u) \end{array}$$ どの場合も全体の取り出し方は $\displaystyle \binom{s+2u}{2}$ 通りであるから，表の各場合の数をこれで割れば条件付き確率になる。特に $c_j=1$ の第一の場合は机上から1枚が消えて新しい番号の1枚が残るので $s'=s$ である。また $c_j=0$ のときだけ手番が A と B の間で交代する。$c_j=1,2$ のとき，そのプレイヤーがそれぞれ1組，2組を獲得する。獲得カード数は獲得組数の2倍なので，勝敗は組数で比較してよい。 初めは $(s,u)=(0,n)$ である。以下の全ての経路で必要になる条件付き確率を示す。空欄ではなく $0$ はその場合が起こらないことを表す。 $$\displaystyle \begin{array}{c|ccc} (s,u)&\Pr(c=0)&\Pr(c=1)&\Pr(c=2)\\\hline (0,4)&\frac67&\frac17&0\\ (0,3)&\frac45&\frac15&0\\ (2,2)&\frac4{15}&\frac23&\frac1{15}\\ (0,2)&\frac23&\frac13&0\\ (2,1)&0&\frac56&\frac16\\ (4,0)&0&0&1\\ (2,0)&0&0&1\\ (0,1)&0&1&0 \end{array}$$ ここで各行の確率は合計 $1$ であり，$(s,u)=(0,n)$ から表の状態遷移をたどれば，以下の表の経路以外は生じない。各経路の $(s_1,\ldots,s_n)$ は各回の取り出し後に机上に残るカード枚数である。$(A,B)$ はそれぞれの獲得組数を表す。

$n=2$ の場合は $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c} (c_1,c_2)&(s_1,s_2)&\text{確率}&(A,B)\\\hline (0,2)&(2,0)&\frac23&(0,2)\\ (1,1)&(0,0)&\frac13&(2,0) \end{array}$$ ゆえに $\displaystyle P(2)=\frac23$ である。

$n=3$ の場合は $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c} (c_1,c_2,c_3)&(s_1,s_2,s_3)&\text{確率}&(A,B)\\\hline (0,1,2)&(2,2,0)&\frac23&(0,3)\\ (0,2,1)&(2,0,0)&\frac2{15}&(0,3)\\ (1,0,2)&(0,2,0)&\frac2{15}&(1,2)\\ (1,1,1)&(0,0,0)&\frac1{15}&(3,0) \end{array}$$ 例えば最初の行の確率は $\displaystyle \frac45\cdot\frac56=\frac23$ である。したがって $\displaystyle P(3)=\frac23+\frac2{15}+\frac2{15}=\frac{14}{15}$ となる。

$n=4$ の場合は $$\begin{array}{c|c|c|c|c} (c_1,c_2,c_3,c_4)&(s_1,s_2,s_3,s_4)&105\Pr&(A,B)&\text{勝敗}\\\hline (0,0,2,2)&(2,4,2,0)&24&(4,0)&A\\ (0,1,1,2)&(2,2,2,0)&50&(0,4)&B\\ (0,1,2,1)&(2,2,0,0)&10&(0,4)&B\\ (0,2,0,2)&(2,0,2,0)&4&(2,2)&\text{引分}\\ (0,2,1,1)&(2,0,0,0)&2&(0,4)&B\\ (1,0,1,2)&(0,2,2,0)&10&(1,3)&B\\ (1,0,2,1)&(0,2,0,0)&2&(1,3)&B\\ (1,1,0,2)&(0,0,2,0)&2&(2,2)&\text{引分}\\ (1,1,1,1)&(0,0,0,0)&1&(4,0)&A \end{array}$$ 例えば $(0,1,1,2)$ の確率は $\displaystyle \frac67\cdot\frac23\cdot\frac56=\frac{50}{105}$ である。全行の分子の合計は $24+50+10+4+2+10+2+2+1=105$ で，確率の総和は $1$ である。B が勝つ行の分子は $50+10+2+10+2=74$，引き分ける行の分子は $4+2=6$ だから， $$\displaystyle P(4)=\frac{74}{105},\qquad Q(4)=\frac6{105}=\frac2{35}.$$ どの経路も最後に $s_n=0$ となる。したがって，箱が空になる時点で机上にカードが取り残される場合もない。