1名古屋市立大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$\log$ は自然対数であるから、まず $x>0,\ y>0$ である。以下 $e=\exp(1)$ とする。

(1) $u=\log x,\ v=\log y$ とおけば、$uv$ 平面では $|u|+|v|=1$ は頂点 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ をもつひし形である。元の $xy$ 平面での境界は、$x,y$ の大小と $1$ との関係で分けると次のようになる。 $$\begin{array}{c|c|c} \text{範囲} & \text{対数の式} & \text{境界}\ \\\hline x\ge1,\ y\ge1 & \log x+\log y=1 & xy=e\quad (y=e/x)\\ x\le1,\ y\ge1 & -\log x+\log y=1 & y=ex\\ x\le1,\ y\le1 & -\log x-\log y=1 & xy=e^{-1}\quad (y=1/(ex))\\ x\ge1,\ y\le1 & \log x-\log y=1 & y=x/e \end{array}$$ 各部分の範囲は、順に $1\le x\le e$, $e^{-1}\le x\le1$, $e^{-1}\le x\le1$, $1\le x\le e$ である。したがって、頂点 $$(e,1),\quad (1,e),\quad (e^{-1},1),\quad (1,e^{-1})$$ を順につなぐ、正の範囲にある4つの曲線部分を描けばよい。具体的には、上側境界が $y=ex$（$e^{-1}\le x\le1$）と $y=e/x$（$1\le x\le e$）、下側境界が $y=1/(ex)$（$e^{-1}\le x\le1$）と $y=x/e$（$1\le x\le e$）である。

(2) 不等式から $|\log x|\le1$ なので $e^{-1}\le x\le e$ である。$e^{-1}\le x\le1$ では $\log x\le0$ だから $$|\log y|\le 1+\log x.$$ 右辺が $0$ 以上となる範囲は $x\ge e^{-1}$ であり、これを $y$ について解くと $$\displaystyle -(1+\log x)\le\log y\le1+\log x \quad\text{すなわち}\quad \frac1{ex}\le y\le ex.$$ 一方、$1\le x\le e$ では $\log x\ge0$ なので $$\displaystyle |\log y|\le1-\log x \quad\text{すなわち}\quad \frac{x}{e}\le y\le\frac{e}{x}.$$ 従って、縦に切った面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{e^{-1}}^1\left(ex-\frac1{ex}\right)\,dx +\int_1^e\left(\frac e x-\frac{x}{e}\right)\,dx\\ &=\left[\frac{e x^2}{2}-\frac1e\log x\right]_{e^{-1}}^1 +\left[e\log x-\frac{x^2}{2e}\right]_1^e\\ &=\left(\frac e2-\frac{3}{2e}\right) +\left(\frac e2+\frac{1}{2e}\right) =e-\frac1e. \end{aligned}$$ 各区間の上下の境界は端点で一致し、幅は区間内で非負である。また $e>1$ より面積 $e-e^{-1}$ は正である。したがって、求める面積は $\boxed{e-e^{-1}}$。