2名古屋市立大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) 辺の長さは $OA=2n+1$，$AB=2n$，$OB=2n-1$ である。また $n\geq 3$ より $$2n+1 < 2n+(2n-1)$$ だから三角形は退化しない。各辺について，その辺の長さの平方が他の2辺の長さの平方和より小さいことを確かめる。 $$(2n)^2+(2n-1)^2-(2n+1)^2=4n(n-2)>0,$$ $$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n)^2=4n^2+2>0,$$ $$(2n+1)^2+(2n)^2-(2n-1)^2=4n^2+8n>0.$$ したがって三辺のいずれについても「その辺の平方＜他の2辺の平方和」が成り立つ。三平方の定理の逆より，三角形 $OAB$ の各角は鋭角である。

(2) $\vec d=\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ とおく。長さの条件から $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec d|^2}{2} =\frac{(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n)^2}{2}=2n^2+1,$$ よって $$\vec a\cdot\vec d=\vec a\cdot(\vec b-\vec a)=2n^2+1-(2n+1)^2=-2n(n+2),\qquad |\vec d|^2=4n^2.$$ $OP\perp AB$ なので $(\vec a+t\vec d)\cdot\vec d=0$。したがって $$\displaystyle t=-\frac{\vec a\cdot\vec d}{|\vec d|^2}=\frac{2n(n+2)}{4n^2}=\frac{n+2}{2n}.$$

(3) (2)の垂直条件を用いると $$\displaystyle |\overrightarrow{OP}|^2=|\vec a+t\vec d|^2 =|\vec a|^2-\frac{(\vec a\cdot\vec d)^2}{|\vec d|^2} =(2n+1)^2-(n+2)^2=3(n^2-1).$$ $n=3,4,5,6$ のとき，この値は順に $24,45,72,105$ であり，それぞれ $$4^2<24<5^2,\quad 6^2<45<7^2,\quad 8^2<72<9^2,\quad 10^2<105<11^2$$ だから $|\overrightarrow{OP}|$ は整数でない。一方 $n=7$ では $|\overrightarrow{OP}|^2=3(49-1)=144=12^2$ となる。よって求める最小の自然数は $n=7$（このとき $|\overrightarrow{OP}|=12$）である。