2広島大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1)　 MをABの中点とする。ABCDは反時計回りなので、ABの外側は進行方向の右側である。直角二等辺三角形APBでは、MからPへの向きは$\overrightarrow{AB}$を時計回りに90^$\circ$回転した向きであり、長さは|AB|/2である。したがって $$\displaystyle p-\frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{i}{2}(\beta-\alpha), \qquad p=\frac{1+i}{2}\alpha+\frac{1-i}{2}\beta.$$

(2)　 同じ理由を辺BC,CD,DAにも用いると $$\displaystyle q=\frac{1+i}{2}\beta+\frac{1-i}{2}\gamma,\quad r=\frac{1+i}{2}\gamma+\frac{1-i}{2}\delta,\quad s=\frac{1+i}{2}\delta+\frac{1-i}{2}\alpha.$$ 平行四辺形PQRSでは対角線PR,QSが互いに中点で交わるので、p+r=q+sである。上式から $$\displaystyle p+r-q-s =\frac{(1+i)(\alpha+\gamma)+(1-i)(\beta+\delta) -(1+i)(\beta+\delta)-(1-i)(\alpha+\gamma)}{2} =i(\alpha+\gamma-\beta-\delta).$$ よってPQRSが平行四辺形なら$\alpha$+$\gamma$=$\beta$+$\delta$であり、ABCDの対角線AC,BDは互いに中点で交わる。したがってABCDは平行四辺形である。

逆にABCDが平行四辺形なら$\alpha$+$\gamma$=$\beta$+$\delta$である。このとき $$u=\beta-\alpha,\quad v=\delta-\alpha,\quad \gamma=\alpha+u+v$$ とおくと、 $$\displaystyle p=\alpha+\frac{1-i}{2}u,\quad q=\alpha+u+\frac{1-i}{2}v,\quad r=\alpha+\frac{1+i}{2}u+v,\quad s=\alpha+\frac{1+i}{2}v.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=q-p=\frac{1+i}{2}u+\frac{1-i}{2}v,\qquad \overrightarrow{PS}=s-p=-\frac{1-i}{2}u+\frac{1+i}{2}v =i\,\overrightarrow{PQ}.$$ また$\alpha$+$\gamma$=$\beta$+$\delta$よりp+r=q+sなので、$\overrightarrow{QR}$=r-q=s-p=$\overrightarrow{PS}$である。ここで$\overrightarrow{PQ}$$\ne$0である。実際、$\overrightarrow{PQ}$=0なら上式からv=-iuとなるが、凸で反時計回りのABCDではDは有向直線ABの左側にあるため $$\operatorname{Im}(\overline{u}v)>0$$ である。一方、v=-iuなら$\operatorname{Im}$($\overline{u}$v)=-|u|^2<0となり矛盾する。したがってPQとPSは、長さが等しく互いに垂直な隣り合う辺であり、PQRSは正方形である。よってABCDが平行四辺形ならPQRSは平行四辺形でもある。以上から(2)の必要十分条件が得られる。

(3)　 PQRSが平行四辺形なら(2)よりABCDは平行四辺形である。上の計算でPQRSは正方形となることを示したので、求める結論を得る。