4東京慈恵会医科大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) $c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とし、$d=|\overrightarrow{OQ}|$ とおく。$0<\theta<\pi/2$ より $c,s>0$ であり、 $$\displaystyle d^2=16c^2+2\left(\frac{\sqrt2}{2}s\right)^2=16c^2+s^2=1+15c^2.$$ したがって $$\displaystyle R=\left(\frac{16c}{d},\frac{2\sqrt2s}{d},\frac{2\sqrt2s}{d}\right),\qquad P=(4c,2\sqrt2s,2\sqrt2s).$$ よって $$\displaystyle |\overrightarrow{PR}|^2=\frac{16}{d^2}\left(c^2(4-d)^2+s^2(d-1)^2\right).$$ $c^2=(d^2-1)/15$、$s^2=(16-d^2)/15$ を代入して整理すると $$\displaystyle |\overrightarrow{PR}|^2=\frac{32}{5}\frac{(d-1)(4-d)}{d} =\frac{32}{5}\left(1-\frac{(d-2)^2}{d}\right)\leq\frac{32}{5}.$$ ここで $1<d<4$ なので等号は $d=2$ のとき成立する。このとき $d^2=1+15c^2$ から $c^2=1/5$ であり、$c>0$ より $$\displaystyle \max|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{\frac{32}{5}}=\frac{4\sqrt{10}}5,\qquad \cos\theta=\frac1{\sqrt5}.$$

(2) このとき $\sin\theta=2/\sqrt5$ であり、 $$\displaystyle P=\left(\frac4{\sqrt5},\frac{4\sqrt2}{\sqrt5},\frac{4\sqrt2}{\sqrt5}\right),\qquad R=\left(\frac8{\sqrt5},\frac{2\sqrt2}{\sqrt5},\frac{2\sqrt2}{\sqrt5}\right).$$ 線分 $PR$ の中点を $S$ とすると $$\displaystyle S=\left(\frac6{\sqrt5},\frac{3\sqrt2}{\sqrt5},\frac{3\sqrt2}{\sqrt5}\right),\qquad |\overrightarrow{OS}|=6\sqrt{\frac25}.$$ $M$ は半直線 $OS$ 上にあり $|\overrightarrow{OM}|=4$ だから $$\displaystyle M=\frac{4}{|\overrightarrow{OS}|}S=(2\sqrt2,2,2).$$ $OA$ は $x$ 軸上に長さ4であり、点 $M$ から $x$ 軸までの距離は $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$ である。したがって $$\displaystyle [\triangle MOA]=\frac12\cdot4\cdot2\sqrt2=4\sqrt2.$$