3東京慈恵会医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle f_2(x)=f_1(f_1(x))=f_1(x)^2+f_1(x)-\frac14$ である。$\displaystyle f_1(x)=x^2+x-\frac14$ より、$x^2$ で割った余りを求めるとき $$\displaystyle f_1(x)^2=\left(x^2+x-\frac14\right)^2\equiv -\frac12x+\frac1{16}\pmod{x^2},\qquad f_1(x)\equiv x-\frac14\pmod{x^2}.$$ したがって $$\displaystyle f_2(x)\equiv \frac12x-\frac7{16}\pmod{x^2},$$ ゆえに $\displaystyle a_2=\frac12,\ b_2=-\frac7{16}$ である。

(2) $f_{n-1}(x)$ を $x^2$ で割った余りが $a_{n-1}x+b_{n-1}$ なので、$\displaystyle f_n(x)=f_{n-1}(x)^2+f_{n-1}(x)-\frac14$ を $x^2$ で割った余りを比較すると $$\displaystyle a_n=a_{n-1}(2b_{n-1}+1),\qquad b_n=b_{n-1}^2+b_{n-1}-\frac14.$$ ここで $\displaystyle c_n=b_n+\frac12$ とおくと、$\displaystyle c_1=\frac14$ かつ $$\displaystyle c_n=b_{n-1}^2+b_{n-1}+\frac14=c_{n-1}^2$$ であるから $$\displaystyle c_n=\left(\frac14\right)^{2^{n-1}}=4^{-2^{n-1}}.$$ また $2b_{n-1}+1=2c_{n-1}$ であり、$a_1=1$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} a_n&=\prod\limits _{j=1}^{n-1}2c_j =2^{n-1}4^{-\sum\limits _{j=1}^{n-1}2^{j-1}}\\ &=2^{n-1}4^{-(2^{n-1}-1)}=2^{n+1-2^n}. \end{aligned}$$ $n+1-2^n\to-\infty$ なので $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=0.$$