1東京慈恵会医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 数字を3で割った余りごとにカードを分けると、余り0のカードは3枚（3）、余り1のカードは5枚（1が1枚、4が4枚）、余り2のカードは2枚（2）である。カードの取り出し方は順序を区別して $10\cdot9\cdot8=720$ 通りある。

3の倍数となるには、3枚の余りの和が3の倍数であればよい。余りの組は、$(0,0,0)$、$(1,1,1)$、$(2,2,2)$、または $(0,1,2)$ の並べ替えである。ただし余り2のカードは2枚しかないため $(2,2,2)$ は不可能である。よって条件を満たす順序付きの取り出し方は $$3\cdot2\cdot1+5\cdot4\cdot3+3!\cdot3\cdot5\cdot2=6+60+180=246$$ 通りであり、求める確率は $246/720=41/120$ である。

6の倍数となるには、3の倍数で、かつ最後の数字が偶数であればよい。最後の数字が2のとき、最後のカードの選び方は2通りである。これを固定すると、前2枚の余りは $(0,1)$ または $(1,0)$ であり、その選び方は $3\cdot5+5\cdot3=30$ 通りだから、この場合は $2\cdot30=60$ 通りである。

最後の数字が4のとき、最後のカードは4通りある。これを固定すると、前2枚の余りは $(0,2)$、$(2,0)$、$(1,1)$ のいずれかである。余り1のカードは最後の4を除いて4枚残るから、前2枚の選び方は $$3\cdot2+2\cdot3+4\cdot3=24$$ 通りであり、この場合は $4\cdot24=96$ 通りである。したがって6の倍数となる確率は $$\displaystyle \frac{60+96}{720}=\frac{13}{60}.$$

(2) $u=2x$ とおく。実数 $u,y$ について $$\displaystyle |u+y|+|u-y|=2\max(|u|,|y|)$$ である。したがって条件は $\displaystyle \max(|u|,|y|)=2$、すなわち $(u,y)$ が正方形 $-2\leq u,y\leq2$ の周上にあることと同値である。また $$\displaystyle 2x^2+xy-y^2=\frac{u^2+uy-2y^2}{2}.$$

まず辺 $u=2$ では、この式は $\displaystyle 2+y-y^2=\frac94-(y-\frac12)^2$ となり、$-2\leq y\leq2$ での最大値は $9/4$、最小値は端点での $-4$ である。辺 $u=-2$ では $\displaystyle 2-y-y^2=\frac94-(y+\frac12)^2$ となり、最大値は $9/4$、最小値は $-4$ である。

辺 $y=2$ では $\displaystyle \frac12u^2+u-4=\frac12(u+1)^2-\frac92$ となるので最小値は $-9/2$、最大値は端点での $0$ である。辺 $y=-2$ では $\displaystyle \frac12u^2-u-4=\frac12(u-1)^2-\frac92$ となるので最小値は $-9/2$、最大値は端点での $0$ である。以上より、全体での範囲は $$\displaystyle -\frac92\leq 2x^2+xy-y^2\leq\frac94$$ である。