6東邦大学 2016年 数学 第6問解答・解説

さいころの出目 $a,b,c$ はそれぞれ $1,2,3,4,5,6$ のいずれかであり、$a>0$ なので平方完成により $$\displaystyle y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a},\qquad m=c-\frac{b^2}{4a}.$$ $b^2/(4a)>0$ だから $m<c\leq6$ である。$m>11/2$ となるには $c=6$ が必要である。このとき $$\displaystyle 6-\frac{b^2}{4a}>\frac{11}{2}\text{であるための必要十分条件は} b^2<2a.$$ $a=1,2,3,4,5,6$ の順に、この条件を満たす $1\le b\le6$ の整数 $b$ の個数は $1,1,2,2,3,3$ で、合計12通りである。$c=6$ と定まっているため、条件を満たす出目の組 $(a,b,c)$ は12通りとなる。全事象は $6^3=216$ 通りなので $$\displaystyle P\left(m>\frac{11}{2}\right)=\frac{12}{216}=\frac1{18}.$$ よって $\text{ア}=1,\ \text{イ}=1,\ \text{ウ}=8$ である。