9東邦大学 2016年 数学 第9問解答・解説

三角形ABCで $\angle C=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ$ である。

三角形BCDでは $\angle CBD=105^\circ$、$\angle BCD=30^\circ$ なので $\angle BDC=45^\circ$。正弦定理より $$\displaystyle CD=BC\frac{\sin105^\circ}{\sin45^\circ} =2\cdot\frac{(\sqrt6+\sqrt2)/4}{\sqrt2/2}=\sqrt3+1.$$

三角形BCEでは $\angle CBE=30^\circ$、$\angle BCE=45^\circ$ である。正弦定理から $$\displaystyle CE=BC\frac{\sin30^\circ}{\sin105^\circ} =\frac{1}{\sin105^\circ}=\sqrt6-\sqrt2.$$ また $\angle DCE=\angle BCA-\angle BCD=45^\circ-30^\circ=15^\circ$。三角形CDEに余弦定理を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} DE^2&=CD^2+CE^2-2\,CD\,CE\cos15^\circ\\ &=(4+2\sqrt3)+(8-4\sqrt3) -2(\sqrt3+1)(\sqrt6-\sqrt2)\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\\ &=12-2\sqrt3-(2\sqrt3+2)=10-4\sqrt3. \end{aligned}$$ したがって $CD=\sqrt3+1$、$DE^2=-4\sqrt3+10$ であり、$\text{サ}=3,\ \text{シ}=1,\ \text{スセ}=-4,\ \text{ソ}=3,\ \text{タチ}=10$ である。