13東邦大学 2016年 数学 第13問解答・解説

左辺を $S_n$、求める最初の部分和を $A_n=a_1+\cdots+a_n$ とおく。また $S_0=0$ とする。与式は $$\displaystyle S_n=\frac{n-4}{10}+\frac{2}{n+5}$$ であり、この右辺は $n=0$ でも $0$ となる。隣り合う式を引くと各項の係数の差がすべて $1$ になるので、 $$\displaystyle A_n=S_n-S_{n-1} =\frac{1}{10}+\frac{2}{n+5}-\frac{2}{n+4} =\frac{1}{10}-\frac{2}{(n+4)(n+5)}.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(a_1+\cdots+a_n)=\lim\limits _{n\to\infty}A_n=\frac{1}{10}.$$

次に $\displaystyle B_n=\sum\limits _{k=1}^{n}(3k-1)a_k$ とおく。$S_n$ の係数を使うと $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}(n-k+1)a_k=(n+1)A_n-\sum\limits _{k=1}^{n}ka_k$$ であるから、 $$\displaystyle B_n=3\sum\limits _{k=1}^{n}ka_k-A_n=(3n+2)A_n-3S_n.$$ 上で求めた $A_n$ と $S_n$ を代入して整理すると $$\displaystyle B_n=\frac75-\frac{2(3n+2)}{(n+4)(n+5)}-\frac{6}{n+5}.$$ 右辺の後ろ二項は $n\to\infty$ で $0$ に収束するので、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\{2a_1+5a_2+8a_3+\cdots +(3n-1)a_n\}=\frac75.$$ よって求める値は $$\displaystyle \boxed{\frac{1}{10}},\qquad \boxed{\frac75},$$ すなわち $\text{オ}=1,\ \text{カキ}=10,\ \text{ク}=7,\ \text{ケ}=5$ である。