12東邦大学 2016年 数学 第12問解答・解説

正の整数解を $x$ とする。左辺をまとめると $$x^3-20x^2+(100-a)x+8a-23 =x(x-10)^2-23+a(8-x)$$ となる。$x=8$ のとき左辺は $8\cdot4-23=9$ なので、$x=8$ は解ではない。したがって解の条件から $$\displaystyle a=\frac{x(x-10)^2-23}{x-8} =x^2-12x+4+\frac{9}{x-8}$$ を得る。$a$ は整数だから、$x-8$ は $9$ の約数である。また $x>0$ より $x-8>-8$ なので、可能な値は $$x-8=-3,-1,1,3,9,\qquad x=5,7,9,11,17$$ に限られる。それぞれについて $a$ を求めると $$\begin{array}{c|rrrrr} x&5&7&9&11&17\\\hline a&-34&-40&-14&-4&90 \end{array}$$ となる。$a$ は正の整数なので、可能なのは $x=17,\ a=90$ の場合だけである。実際、$x=17$ を代入すると左辺は $0$ となる。また、$a=90$ のとき正の整数解があれば上の候補表に含まれ、表で $a=90$ となるのは $x=17$ だけである。よって正の整数解はただ一つで、求める値は $$\boxed{a=90}\qquad(\text{ウ}=9,\ \text{エ}=0)$$ である。