8東邦大学 2016年 数学 第8問解答・解説

定義域は $x>0$ である。微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{2}{3x}+4x+a=\frac{12x^2+3ax+2}{3x}.$$ 分母 $3x$ は正なので、$f'(x)=0$ の解は $$12x^2+3ax+2=0$$ の正の解に一致する。この二次方程式が異なる2つの正の解をもつとき、導関数はその2解の間で負、外側で正となるため、$f$ は極大値と極小値をもつ。

判別式は $$D=(3a)^2-4\cdot12\cdot2=9a^2-96.$$ 異なる2実根をもつ条件は $D>0$、すなわち $|a|>4\sqrt6/3$ である。根の積は $2/12=1/6>0$ なので2根は同符号であり、和は $-3a/12=-a/4$ である。2根が正となるには和も正、したがって $a<0$ が必要である。両条件を合わせると $$\displaystyle a<-\frac{4\sqrt6}{3}.$$ このとき二次式は異なる2つの正の根をもち、実際に $f'$ の符号が変わるので、これが極値をもつための必要十分条件である。よって $\text{キク}=-4,\ \text{ケ}=6,\ \text{コ}=3$ である。