14東邦大学 2016年 数学 第14問解答・解説

$2x-x^2=1-(x-1)^2$ であるから、曲線上の点の $x$ 座標は $0\le x\le2$ を満たす。上下の枝は $$y=\pm |x-1|\sqrt{1-(x-1)^2}$$ である。したがって、左右二つのループを合わせた面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=2\int_0^2 |x-1|\sqrt{1-(x-1)^2}\,dx\\ &=4\int_0^1 t\sqrt{1-t^2}\,dt =4\left[-\frac{(1-t^2)^{3/2}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac43. \end{aligned}$$ ここでは対称性により、$t=|x-1|$ として左右の寄与をまとめた。よって求める面積は $$\displaystyle \boxed{\frac43}\qquad(\text{コ}=4,\ \text{サ}=3)$$ である。