東邦大学 2016年数学第2問解答・解説

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1問題

東邦大学2016年度第2問

空間において、方程式 $x^2+y^2+z^2-2x-8y-4z-28=0$ で表される曲面を $C$ とする。このとき、 $C$ は中心 $(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$ 、半径 $\boxed{\text{カ}}$ の球面である。また、 $C$ 上の点 $(-5,6,5)$ で接する平面と $z$ 軸との交点の座標は $(0,0,\boxed{\text{キク}})$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

平方完成で球の中心・半径を求め、接点への半径を法線として接平面を立て、z軸との交点を計算する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(中心,半径 $)=(1,4,2),\space{}7;\qquad (0,0,19).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

平方完成すると $x^2+y^2+z^2-2x-8y-4z-28=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=49.$ よって球面 $C$ の中心は $(1,4,2)$ 、半径は $7$ である。点 $T=(-5,6,5)$ と中心 $C_0=(1,4,2)$ の差は $\overrightarrow{C_0T}=(-6,2,3)$ であり、その長さは $\sqrt{36+4+9}=7$ だから、 $T$ は球面上にある。接平面の法線ベクトルは $(-6,2,3)$ なので、その方程式は $-6(x+5)+2(y-6)+3(z-5)=0,$ すなわち $-6x+2y+3z=57$ である。 $z$ 軸上では $x=y=0$ だから $3z=57$ 、 $z=19$ 。したがって交点は $(0,0,19)$ である。よって $\text{ウ}=1,\quad\text{エ}=4,\quad\text{オ}=2,\quad\text{カ}=7,\quad\text{キク}=19.$

この問題で使う考え方

空間座標と空間ベクトル
ベクトルの和・差・実数倍
位置ベクトル
ベクトルによる図形の考察

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