15東邦大学 2016年 数学 第15問解答・解説

各データの平均からのずれを $u_i=x_i-X$、$v_i=y_i-Y$ とおき、 $$A=5-X^2,\qquad B=9-Y^2,\qquad C=5-XY$$ とする。条件より $$\displaystyle \sum u_i=\sum v_i=0,\quad \sum u_i^2=100A,\quad \sum v_i^2=100B,\quad \sum u_iv_i=100C.$$ したがって $A,B\ge0$ であり、$\displaystyle \sum u_i^2\sum v_i^2\ge(\sum u_iv_i)^2$ から $$(5-X^2)(9-Y^2)\ge(5-XY)^2.$$ これを整理すると $$\displaystyle 4X^2+5(Y-X)^2\le20, \qquad\text{すなわち}\qquad \frac{(Y-X)^2}{4}+\frac{X^2}{5}\le1.$$

この条件は実現可能性についても十分である。実際、この不等式から $X^2\le5$ であり、また $$\displaystyle 4X^2+5(Y-X)^2=9\left(X-\frac{5Y}{9}\right)^2+\frac{20Y^2}{9}\le20$$ より $Y^2\le9$ である。さらに $$AB-C^2=20-4X^2-5(Y-X)^2\ge0.$$ $A>0$ のとき、和が $0$、二乗和が $1$、互いに積の和が $0$ となる二つの100項列 $$\displaystyle r=\frac{(1,-1,0,\ldots,0)}{\sqrt2},\qquad s=\frac{(1,1,-2,0,\ldots,0)}{\sqrt6}$$ を用いて $$\displaystyle x_i=X+10\sqrt A\,r_i,\qquad y_i=Y+\frac{10C}{\sqrt A}r_i+10\sqrt{B-\frac{C^2}{A}}\,s_i$$ とすれば、与えられた三つの総和を満たす。$A=0$ なら不等式から $X^2=5,\ Y=X$ となり、$C=0$。この場合は $x_i=X,\ y_i=Y+10\sqrt B\,r_i$ とすればよい。よって示した楕円領域の各点が実現する。

次に $u=Y-X$ とおくと、$X+Y=u+2X$、かつ $5u^2+4X^2\le20$ である。恒等式 $$24(5u^2+4X^2)-20(u+2X)^2=4(5u-2X)^2\ge0$$ から $(X+Y)^2\le24$、すなわち $|X+Y|\le2\sqrt6$。等号は $5u=2X$ かつ $5u^2+4X^2=20$ のとき成立し、そのような点は上で示した通り実現する。等号を達成する点として $$\displaystyle (X_0,Y_0)=\left(\frac5{\sqrt6},\frac7{\sqrt6}\right)$$ は楕円上にあり、上で示した十分性により実現する。任意の $0\le s\le1$ に対して $(sX_0,sY_0)$ も楕円内にある。実際、 $$\displaystyle \frac{(sY_0-sX_0)^2}{4}+\frac{(sX_0)^2}{5} =s^2\left(\frac{(Y_0-X_0)^2}{4}+\frac{X_0^2}{5}\right)=s^2\le1$$ であり、これも十分性により実現する。この点では $$|X+Y|=s|X_0+Y_0|=2s\sqrt6$$ となるから、$s$ を $0$ から $1$ まで動かすことで全ての値が実現する。したがって取り得る範囲は $$0\le|X+Y|\le2\sqrt6.$$ したがって $$\boxed{\text{シ}=4,\ \text{ス}=5,\ \text{セ}=2,\ \text{ソ}=6}.$$