10東邦大学 2016年 数学 第10問解答・解説

$F(x,y)$ を問題の整式とする。整数係数の一次式の積に分解できると仮定し $$F(x,y)=(px+qy+r)(sx+ty+u)\qquad(p,q,r,s,t,u\text{ は整数})$$ とおく。これを $x$ の二次式と見ると、その判別式は $$\bigl((pt+qs)y+(pu+rs)\bigr)^2-4ps(qy+r)(ty+u) =\bigl((pt-qs)y+(pu-rs)\bigr)^2$$ であり、整数係数の一次式の平方である。一方、問題の式を $x$ の二次式と見た判別式は $$\begin{aligned} (10y-2a)^2-4(a+1)(-3y^2-12y+a) =(12a+112)y^2+(8a+48)y-4a. \end{aligned}$$ したがって整数 $\lambda,\mu$ が存在して $$\lambda^2=12a+112,\qquad 2\lambda\mu=8a+48,\qquad \mu^2=-4a$$ となる。$a$ は因数の定数項の積なので整数であり、$\mu^2=-4a$ から $\mu=2k,\ a=-k^2$ とおける。$k=0$ なら第2式は $0=48$ となるため不可能である。第2式より $$\lambda k=12-2k^2,$$ また第1式より $\lambda^2=112-12k^2\geq0$、したがって $|k|\leq3$ である。$k=\pm1,\pm2,\pm3$ を第2式に代入して第1式も満たすものを調べると、$k=\pm1,\pm3$、すなわち $a=-1,-9$ が候補となる。

$a=-1$ では $x^2$ の係数が0であるから、2因子の一方は $x$ を含まない。因子を $(px+qy+r)(ty+u)$ と書くと、$x$ および定数項の係数比較から $pt=10,\ pu=2,\ ru=-1$ となる。$u=\pm1$ より $t=5u$ だが、$y^2$ の係数条件 $qt=-3$ を満たす整数 $q$ は存在しない。よって $a=-1$ は除く。

一方、$a=-9$ のときは $$-8x^2+10xy-3y^2+18x-12y-9 =(-4x+3y+3)(2x-y-3)$$ と実際に整数係数の異なる一次式の積に分解できる。したがって求める値は $a=-9$、すなわち $\text{ツテ}=-9$ である。