東邦大学 2016年数学第4問解答・解説

図形の性質

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1問題

東邦大学2016年度第4問

$\triangle ABC$ において、辺 $AC$ に接する傍接円と直線 $BC$ との接点を $D$ とする。

三角形ABCの右側に円があり、辺AC、辺ABをA側へ延ばした直線、辺BCをC側へ延ばした直線に接している。Bは左下、Aはその右上、CはBの右の底辺上にあり、底辺を延ばした直線と円の接点にDと記されている。

$AB=19,\ BC=27,\ CA=24$ のとき、 $BD=\boxed{\text{セソ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

傍接円の接点を各辺上・延長上に取り、同じ外部点から引いた接線の長さが等しいことと三角形の辺長を使ってBDを求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$BD=35\quad($ セソ $=35).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

傍接円の $AC$ との接点を $E$ 、辺 $AB$ の延長との接点を $F$ とする。図のように $D$ は $BC$ の延長上にある。円の外の同一点から引いた接線の長さは等しいので $AE=AF,\qquad CE=CD,\qquad BF=BD.$ $u=AE=AF$ 、 $v=CE=CD$ とおくと、 $AC=24$ より $u+v=24.$ また、 $F$ は $BA$ の延長上、 $D$ は $BC$ の延長上にあるから $BF=BA+AF=19+u,\qquad BD=BC+CD=27+v.$ $BF=BD$ より $19+u=27+v$ 、すなわち $u-v=8$ である。これらから $u=16,\ v=8$ 。したがって $BD=BC+CD=27+8=35.$ よって $\text{セソ}=35$ である。

この問題で使う考え方

円の性質

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