2金沢大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) 点 $P=(x,y)$ とする。$Q=(2,0), R=(0,1)$ だから、三角形の面積は $$\displaystyle [\triangle PQR]=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}2&-1\\x&y-1\end{pmatrix}\right| =\frac12|x+2y-2|.$$ ここで $X=x,\ Y=2y$ とおくと、点 $P$ は曲線 $C$ 上にあるので $X^2+Y^2=4$ であり、 $$(X+Y)^2\le2(X^2+Y^2)=8$$ である。従って $-2\sqrt2\le X+Y\le2\sqrt2$。$|X+Y-2|$ は下端 $X+Y=-2\sqrt2$ で最大となる（その値 $2+2\sqrt2$ は上端での値 $2\sqrt2-2$ より大きい）。下端で等号となるには $X=Y=-\sqrt2$ であるから $$\displaystyle P=\left(-\sqrt2,-\frac1{\sqrt2}\right),\qquad [\triangle PQR]_{\max}=1+\sqrt2.$$

(2) (1) の点と $Q$ を結ぶ直線の傾きは $$\displaystyle \frac{0+1/\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{\sqrt2-1}{2},$$ 従って $PQ$ は $\displaystyle y=\frac{\sqrt2-1}{2}(x-2)$ である。変換 $X=x,\ Y=2y$ によって楕円の内部は円 $X^2+Y^2\le4$ に移り、直線は $$Y=(\sqrt2-1)(X-2)$$ となる。交点は $P'=(-\sqrt2,-\sqrt2)$ と $Q'=(2,0)$。中心角の小さい方は $3\pi/4$ である。直線上の $X=0$ では $Y=-2(\sqrt2-1)<0$ だから、円の中心は直線の上側にあり、求める「直線の下方」の部分は中心を含まない円弧側の弓形である。

半径 $2$、中心角 $3\pi/4$ の扇形の面積は $3\pi/2$、その二本の半径が作る三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot2^2\sin\frac{3\pi}{4}=\sqrt2.$$ よって円上での弓形面積は $3\pi/2-\sqrt2$。変換 $(x,y)\mapsto(X,Y)=(x,2y)$ は面積を2倍にするので、元の楕円内で求める部分の面積は $$\displaystyle \frac12\left(\frac{3\pi}{2}-\sqrt2\right)=\frac{3\pi}{4}-\frac{\sqrt2}{2}.$$