4東京慈恵会医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) $P(z)$ は三角形の周上にあり原点ではないので $z\ne0$。$P$ と $Q$ は原点を端点とする同じ半直線上にあるから，ある実数 $t>0$ を用いて $w=tz$ と書ける。条件 $|w|=1/|z|$ より $$\displaystyle t|z|=\frac1{|z|},\qquad t=\frac1{|z|^2}.$$ 従って $$\displaystyle w=\frac{z}{|z|^2}=\frac{z}{z\overline z}=\frac1{\overline z}.$$

(2) $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ より $$\displaystyle \alpha=\frac{1+i\sqrt3}{2},\qquad \overline\alpha=\frac{1-i\sqrt3}{2}.$$ これらと $-1$ は偏角がそれぞれ $\pi/3,5\pi/3,\pi$ で，単位円上にあり，3点は一辺 $\sqrt3$ の正三角形をなす。原点はその中心で，各辺を含む直線と原点との距離は正三角形の内接円半径 $1/2$ である。

辺の一つを回転して直線 $\operatorname{Re}z=1/2$ と見る。変換 $w=1/\overline z$ は逆変換も同じ式なので，$z=w/|w|^2$ である。従ってこの直線の像は $$\displaystyle \operatorname{Re}\left(\frac{w}{|w|^2}\right)=\frac12 \quad\text{すなわち}\quad |w|^2-2\operatorname{Re}w=0 \quad\text{すなわち}\quad |w-1|=1.$$ 回転した他の辺も同様に，中心が原点から距離1の単位円となる円へ移る。元の辺の中点は原点から距離1/2の位置にあり，像はその辺の外向き法線上で距離2の点となるため，該当する像は両端の頂点を結ぶ円のうち外側へ膨らむ240度の大きい弧である。

像の境界は元の三頂点（いずれも単位円上で変換により不動）を結ぶ3本の大きい弧からなる。その内側には単位円の円板が含まれる。各辺に対応する外側の弧と単位円の小さい弧との間の面積を求める。外側の円は半径1で，対応する大きい扇形の中心角は $240^\circ=4\pi/3$ なので，弦と大きい弧で囲まれる部分の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot1^2\cdot\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{4} =\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{4}.$$ ここで三角形部分の面積は，半径1の二辺と中心角120度から $\sqrt3/4$ である。一方，単位円の小さい弧と同じ弦で囲まれる部分の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot1^2\cdot\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4} =\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}.$$ 従って一辺分の外側の付加面積は $\pi/3+\sqrt3/2$。単位円板の面積 $\pi$ にこれを3個加えると $$\displaystyle S=\pi+3\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}\right) =2\pi+\frac{3\sqrt3}{2}.$$