2札幌医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

まず、$OA=OB=1$ であり、$AB=1$ だから、$\triangle OAB$ は一辺1の正三角形である。したがって外接円の半径は $1/\sqrt{3}$ である。

(2)(ア) $\ell_\theta$ 上の点を $(t\cos\theta,t\sin\theta)\ (t\geq 0)$ とおく。直線 $AB$ は $x=\sqrt{3}/2$ なので、$\ell_\theta$ との交点は $\left(\sqrt{3}/2,(\sqrt{3}/2)\tan\theta\right)$ である。$0\leq\theta\leq\pi/6$ では $0\leq(\sqrt{3}/2)\tan\theta\leq1/2$ だから、この交点は線分 $AB$ 上にある。任意の点 $P$ について $AP+PB\geq AB$ であり、線分 $AB$ 上では等号が成り立つ。この半直線と線分の交点は一つなので、これが $P_\theta$ である。

(2)(イ) $A'=(-\sqrt{3}/2,1/2)$ を $A$ の $y$ 軸対称点とする。$y$ 軸上の点 $P$ について $PA=PA'$ だから、$AP+PB=PA'+PB\geq A'B$。線分 $A'B$ は原点を通り、$y$ 軸との交点は原点だけである。よって等号となるのは $P=O$ のときで、$P_{\pi/2}=(0,0)$。

(3) 点 $A$ は単位円上で偏角 $\pi/6$ をもつ。偏角 $\theta$ の直線に関する対称移動では偏角 $\varphi$ は $2\theta-\varphi$ となるから、$A_\theta=\left(\cos(2\theta-\pi/6),\sin(2\theta-\pi/6)\right)$。

(4) 点 $P$ が半直線 $\ell_\theta$ 上にあるなら反射の性質から $PA=PA_\theta$ である。したがって $AP+PB=A_\theta P+PB$ は、$P$ が線分 $A_\theta B$ 上にあるとき最小となる。$A_\theta,B$ は単位円上で偏角 $2\theta-\pi/6,-\pi/6$ をもつ。この弦の直線は、法線方向の偏角が $\theta-\pi/6$、原点からの距離が $\cos\theta$ なので、方程式は $x\cos(\theta-\pi/6)+y\sin(\theta-\pi/6)=\cos\theta$ である。これと $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ の交点では $r\cos(\pi/6)=\cos\theta$、すなわち $r=2\cos\theta/\sqrt{3}>0$。また $\det((\cos\theta,\sin\theta),A_\theta)=\sin(\theta-\pi/6)>0$、$\det((\cos\theta,\sin\theta),B)=-\sin(\theta+\pi/6)<0$ なので、この交点は線分 $A_\theta B$ 上にある。よってそれが $P_\theta$ である。

弦 $A_\theta B$ の方向角は、端点の偏角の平均に $\pi/2$ を加えた $\theta+\pi/3$（直線の方向角として）である。したがって $\overrightarrow{P_\theta A_\theta}$ の方向角は $\theta+\pi/3$、$\overrightarrow{P_\theta B}$ はその反対向きである。$\overrightarrow{P_\theta A}$ は $\overrightarrow{P_\theta A_\theta}$ を $\ell_\theta$ に関して反射したものなので、方向角は $\theta-\pi/3$。これと $\overrightarrow{P_\theta B}$ の方向角 $\theta-2\pi/3$ との差は $\pi/3$ であり、$\angle AP_\theta B=\pi/3$。

(5) $|\theta|\leq\pi/6$ では $P_\theta$ は線分 $AB$ を動く。(4)の交点計算から、$\pi/6\leq\theta\leq\pi/2$ では $\displaystyle P_\theta=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\cos^2\theta,\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta\cos\theta\right)$ である。よって $x^2+y^2=2x/\sqrt{3}$、すなわち $(x-1/\sqrt{3})^2+y^2=1/3$。負の $\theta$ では対称な下側の弧を描く。したがって求める領域は、中心 $C=(1/\sqrt{3},0)$、半径 $1/\sqrt{3}$ の円から、弦 $AB$ による小さい弓形を除いた部分である。弦 $AB$ に対する中心角は $2\pi/3$ なので、小さい弓形の面積は $\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt{3}}{12}$。円全体の面積は $\pi/3$ だから、求める面積は $\displaystyle \frac{\pi}{3}-\left(\frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt{3}}{12}\right)=\frac{2\pi}{9}+\frac{\sqrt{3}}{12}$。