4札幌医科大学 2018年 数学 第4問解答・解説

曲線を表す関数を$f(x)=1/x$とおくと、$f'(x)=-1/x^2$である。接点$(b,1/b)$における接線は$$\displaystyle y-\frac1b=-\frac1{b^2}(x-b),\qquad y=\frac2b-\frac{x}{b^2}$$となる。これが$(2a,0)$を通るから$2/b-2a/b^2=0$、すなわち$b=a$である。したがって$c=2/b=2/a$。

曲線と接線の差は$$\displaystyle \frac1x-\left(\frac2a-\frac{x}{a^2}\right)=\frac{(x-a)^2}{a^2x}\geq0\qquad(x>0)$$である。$S$は$a\leq x\leq2a$で曲線と接線に挟まれるので、$t=x/a$とおくと$$\displaystyle |S|=\int_a^{2a}\frac{(x-a)^2}{a^2x}\,dx=\int_1^2\frac{(t-1)^2}{t}\,dt=\log2-\frac12.$$

$T$では、直線$y=2/a$と曲線の交点の$x$座標は$a/2$であり、直線と接線の交点は$(0,2/a)$である。よって$0\leq x\leq a/2$では上側が$y=2/a$、下側が接線であり、$a/2\leq x\leq a$では上側が曲線、下側が接線である。したがって$$\displaystyle |T|=\int_0^{a/2}\frac{x}{a^2}\,dx+\int_{a/2}^{a}\frac{(a-x)^2}{a^2x}\,dx=\frac18+\int_{1/2}^1\frac{(1-t)^2}{t}\,dt=\log2-\frac12.$$

$S$を直線$x=a$のまわりに回転すると、半径$x-a$、高さ$(x-a)^2/(a^2x)$の円筒殻ができる。よって$$\displaystyle U=2\pi\int_a^{2a}(x-a)\frac{(x-a)^2}{a^2x}\,dx=2\pi a\int_1^2\frac{(t-1)^3}{t}\,dt=2\pi a\left(\frac56-\log2\right).$$

$T$を同じ軸のまわりに回転すると、$0\leq x\leq a/2$での高さは$x/a^2$、$a/2\leq x\leq a$での高さは$(a-x)^2/(a^2x)$である。半径はいずれも$a-x$なので、$$\displaystyle \begin{aligned}V&=2\pi\left(\int_0^{a/2}(a-x)\frac{x}{a^2}\,dx+\int_{a/2}^{a}\frac{(a-x)^3}{a^2x}\,dx\right)\\&=2\pi a\left(\frac1{12}+\int_{1/2}^1\frac{(1-t)^3}{t}\,dt\right)=2\pi a\left(\log2-\frac7{12}\right).\end{aligned}$$

$W$は水平な円筒殻で求める。$1/a\leq y\leq2/a$において、曲線上の点の$x$座標は$1/y$、接線上の点の$x$座標は$2a-a^2y$である。$u=ay$とすると、この高さでの領域の横幅は$$\displaystyle \frac1y-(2a-a^2y)=a\frac{(u-1)^2}{u},$$回転軸からの距離は$(u-1)/a$、また$dy=du/a$である。したがって$$\displaystyle W=2\pi\int_{1/a}^{2/a}\left(y-\frac1a\right)\left(\frac1y-2a+a^2y\right)dy=\frac{2\pi}{a}\int_1^2\frac{(u-1)^3}{u}\,du=\frac{2\pi}{a}\left(\frac56-\log2\right).$$

最後に、$$\displaystyle U-V=2\pi a\left(\frac{17}{12}-2\log2\right).$$与えられた$2^{10}<e^7$の両辺の自然対数をとると$\log2<7/10$であるから、$$\displaystyle \frac{17}{12}-2\log2>\frac{17}{12}-\frac75=\frac1{60}>0.$$$a>0$より$U-V>0$、したがって$U>V$である。