3札幌医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$q=1-p$とおく。4人の枠への割当は一様で、各準決勝の組合せは$\{1,2\}$と$\{3,4\}$。

(1) 固定されたAの相手枠は4枠中の1つで、残る3枠のうち同じ準決勝の相手枠は1つだから $$\displaystyle \boxed{\Pr(\text{準決勝でA対B})=\frac13}.$$

(2) Bの準決勝相手はA,B,C,Dのうち自分以外の各人が確率$1/3$。A相手ならBの勝率は$q$、CまたはD相手なら$p$。従って $$\displaystyle \boxed{\Pr(B\text{が準決勝で勝つ})=\frac{q+2p}{3}=\frac{1+p}{3}}.$$

(3) Bの準決勝相手ごとに計算する。相手がAならBが準決勝を勝つ確率$q$で、決勝ではCまたはDに勝つ確率$p$。相手がCまたはDならBが準決勝を勝つ確率$p$。残る準決勝はA対もう一方のC,Dとなり、Aが$p$で勝ってもDが$1-p=q$で勝っても、Bの決勝勝率を合わせると$2pq$となる。よって $$\displaystyle p_B=\frac13(qp+2p(2pq))=\boxed{\frac{pq(1+4p)}{3}}.$$

(4) Cの準決勝相手がAまたはBなら、Cが準決勝を勝つ確率$q$、決勝勝率はA/BとDに対する場合分けから$2pq$。相手がDなら準決勝勝率は$p$で、決勝勝率は$q$。したがって $$\displaystyle p_C=\frac13(2q\cdot2pq+pq)=\boxed{\frac{pq(1+4q)}{3}}.$$

(5) Aは準決勝も決勝も最も弱い相手より勝率$p$なので$p_A=p^2$。$2p_B$が他の二量より大きい条件は、$p,q>0$より $$\displaystyle 2p_B>3p_C\text{、すなわち } 2(1+4p)>3(1+4q)\text{、すなわち } p>\frac{13}{20},$$ および $$2p_B>p_A\text{、すなわち } 2q(1+4p)>3p\text{、すなわち } 8p^2-3p-2<0.$$ $p>1/2$の範囲では後者は$p<(3+\sqrt{73})/16$。よって両方が成り立つ条件は $$\displaystyle \boxed{\frac{13}{20}<p<\frac{3+\sqrt{73}}{16}}.$$

高校範囲・論証： 枠割当の対称性、場合分けと条件付き確率、二次不等式を用いた。単元： 数学A「場合の数と確率」、数学I「二次不等式」。方法： 準決勝相手ごとに場合分けして決勝へつなぎ、比較条件を不等式に直す。定理・公式： 古典的確率、積の法則、二次方程式の解の公式。テーマ： くじで組合せるトーナメントの優勝確率と比較。