山形大学 2018年数学第5問解答・解説

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1問題

山形大学2018年度第5問

曲線 $y = \log x (x > 0)$ を $C$ とする. $a > 1$ とし, 点 (1, 0) における曲線 $C$ の接線を $L_1$ , 点 $A(a, \log a)$ における曲線 $C$ の接線を $L_a$ とする. このとき, 次の問に答えよ.

(1) 不定積分 $\displaystyle \int(\log x)^{2}dx$ を求めよ.

(2) 直線 $L_{a}$ の方程式および直線 $L_{1}$ と直線 $L_{a}$ の交点の x 座標を求めよ.

(3) 2 直線 $L_{1}, L_{a}$ と曲線 $C$ で囲まれた図形の面積を $S(a)$ とするとき, 極限値 $\displaystyle \lim\limits _{a \to \infty} \frac{S(a)}{a}$ を求めよ. ただし, $\displaystyle \lim\limits _{a \to \infty} \frac{(\log a)^{k}}{a} = 0 (k = 1, 2, 3, \cdots)$ を用いてよい.

(4) 2 直線 $L_{1}, L_{a}$ と曲線 $C$ で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに1回転してできる立体の体積を $V(a)$ とするとき, 極限値 $\displaystyle \lim\limits _{a \to \infty} \frac{V(a)}{a \log a}$ を求めよ. ただし, $\displaystyle \lim\limits _{a \to \infty} \frac{(\log a)^{k}}{a} = 0 (k = 1, 2, 3, \cdots)$ を用いてよい.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解説接線を求めると $L_1:y=x-1$ 、 $L_a:y=x/a+\log a-1$ 。交点の $x$ 座標を $c=a\log a/(a-1)$ とおく。対数の基本不等式から $1<c<a$ である。

(1)は部分積分で計算する。(3)では対数曲線の接線が曲線の上にあり、二接線の交点で上側の境界が切り替わるので、二つの積分に分けて面積を得る。整理すると $S(a)=(a-1)/2-a(\log a)^2/[2(a-1)]$ で、指定された対数極限から比は $1/2$ に収束する。

(4)の断面は、接線を外半径、対数曲線を内半径とする円環。積分すると、 $L=\log a$ 、 $d=c-1$ に対し $V(a)/\pi=aL^3/3-a(L^2-2L+2)+2-(a-1)d^3/3.$ $d=L-1+L/(a-1)$ を代入すると、主要項は相殺する。残差で必要な $L^2/a$ は問題文で0への収束が許されているため、 $V(a)/(\pi aL)\to1$ 。

答え (1) $x\{(\log x)^2-2\log x+2\}+C$ 。 (2) $L_a:y=x/a+\log a-1$ 、交点の $x$ 座標は $a\log a/(a-1)$ 。 (3) $1/2$ 。 (4) $\pi$ 。

この問題で使う考え方

指数・対数関数の微分
第二次導関数
曲線の接線
部分積分法
三角・指数・対数関数等の積分
不定積分・定積分の性質
曲線で囲まれた面積
定積分による体積

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