3山形大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $\overrightarrow{OA}=(1,2,1)$、$\overrightarrow{OB}=(2,-1,-3)$ より $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-3,\qquad |OA|=\sqrt6,\qquad |OB|=\sqrt{14}.$$ したがって $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|OA||OB|}=\frac{-3}{\sqrt6\sqrt{14}}=\boxed{-\frac{3}{2\sqrt{21}}}.$$

(2) $0<\theta<\pi$ なので $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{9}{84}}=\frac{5}{2\sqrt7}.$$ よって $$\displaystyle [\triangle AOB]=\frac12|OA||OB|\sin\theta=\frac12\sqrt6\sqrt{14}\cdot\frac{5}{2\sqrt7}=\boxed{\frac{5\sqrt3}{2}}.$$

(3)(i) $E=sA$、$F=tB$ とおく。$\overrightarrow{EF}=tB-sA$ と $\overrightarrow{OC}=C$ が垂直だから $$(tB-sA)\cdot C=0.$$ $A\cdot C=4$、$B\cdot C=-2$ より $-2t-4s=0$、すなわち $t=-2s$。また $E\ne F$ より $s\ne0$ であり、 $$\overrightarrow{EF}=-s(A+2B)=-5s(1,0,-1).$$ したがって $L_3$ の方向ベクトルは $(1,0,-1)$。点 $D=(3,2,-1)$ を通るので $$L_3:(x,y,z)=(3,2,-1)+\lambda(1,0,-1).$$ $z=0$ とすると $\lambda=-1$ だから、xy 平面との交点は $$\boxed{(2,2,0)}.$$

(3)(ii) $L_3$ の方向を $v=(1,0,-1)$、$u=B-D=(-1,-3,-2)$ とする。垂線の足を $H=D+\tau v$ とすれば $(B-H)\cdot v=0$ より $$\displaystyle \tau=\frac{u\cdot v}{|v|^2}=\frac12.$$ したがって $$\displaystyle |BH|=\left|u-\frac12v\right|=\left|\left(-\frac32,-3,-\frac32\right)\right|=\sqrt{\frac{27}{2}}=\boxed{\frac{3\sqrt6}{2}}.$$